Matematické Fórum

griglo · 11. 10. 2012 19:01

Neviete niekto ako by sa dalo pohnut s tymto radom ? Akakolvek pomoc alebo napad by boli fajn som z toho zufaly :/
Vdaka

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(1+x^n)}$

Brano · 12. 10. 2012 02:25 — Editoval Brano (12. 10. 2012 17:08)

EDIT: vyzera to tak ze to "riesenie" co som uvadzal nieje vobec dobre, tak ho schovam. Pre istotu ho, ale radsej nevymazem, keby z neho niekto vedel nieco vytrieskat.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

griglo · 12. 10. 2012 15:34

↑ Brano:

V prvom rade vdaka.
A mal by som par otazok.
Nerozumiem tomuto kroku ... po druhom rovna sa. Kde sa vytrati menovatel ??
$f(\frac{1}{x}) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^n}{n(1+x^n)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^n}{n}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^mx^{nm} = /k=m+1/ =$

Brano · 12. 10. 2012 16:23

↑ griglo:
dosadi sa
$\frac{1}{1+x^n}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^mx^{nm}$
podla vzorca pre
$\frac{1}{1+x}=...$

griglo · 12. 10. 2012 16:30 — Editoval griglo (12. 10. 2012 16:46)

↑ Brano:
Aha no jasne tak to je sikovne teda :) len drobna poznamka ku tomu toto rozsirenie je platne len pre x^n<1 nie ?
Edit
Predpoklad by ale mal platit kedze po upravach nerovnosti $ln(x)<1/n, n->\infty$
$x(0,1)$

Brano · 12. 10. 2012 16:59

Na druhy pohlad nie som velmi nadseny z toho vypoctu.
Prilis tam carujem s prehadzovanim sumacie a to ak sa dobre pamatam sa da robit iba ak rad absolutne konverguje, ja som tajne dufal, ze by to tie analyticke predlzenia mohli zachranit, ale vyzera ze nie.
A prave ten trik s 1/x prehazuje intervaly $(0,1)$ a $(1,\infty)$ cize oblast absolutnej a relativnej konvergencie.
Numericke overenie som robil pre x blizke 1, kde to jasne ze sedi, ale ako sa vzdalujem tak to uz moc nevychadza.
Tu su nejake "presne" vypocty:
$f(0)=-\ln(2)$
co nesedi
$f(1)=-\frac{\ln(2)}{2}$
toto je ok
pre $x\to\infty$
$f(x)\to-\ln(1+\frac{1}{x})$
co zase nesedi

Takze zaver je taky, ze som moc nepomohol