Matematické Fórum

frog · 12. 10. 2012 14:34

Ahoj, mám spočítat objem tělesa ohraničeného plochami: $x^{2} + y^{2} = y, x^{2} + y^{2} = 4y, z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z = 0.$ Problém mám s těmi prvními dvěma plochami a nedokážu určitě meze integrování. Děkuji za radu.

Geronimo

$x^2+y^2 &=y \\ x^2+y^2 -y &=0 \\ x^2+\left(y^2 - y + \frac{1}{4}\right)&= \frac{1}{4} \\ x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2&=\frac{1}{4}$

Podobne to druhy.

frog · 12. 10. 2012 15:03

Ano, tohle mám. Ten druhý kruh bude $x^{2} + (y-2)^{2} = 4$ . Asi jsem špatně formuloval problém. Jde mi o to, že si teď nedokážu představit, jak ty dva kruhy ohraničují to těleso.

Geronimo

Rovina xy bude vypadat nejak takhle: kuk sem
Takze to teleso bude tvoreno takovym deformovanym mezikruzim.

Dole je ohranicene rovnici $z=0$ a nahore $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Zde se primo nabizi prevest vse do valcovych souradnic.

frog · 12. 10. 2012 15:38 — Editoval frog (12. 10. 2012 15:43)

Tak takhle přesně se snažím postupovat, ale nemůžu se dobrat výsledku. Můžu použít válcové souřadnice $x = r * cos \varphi , y = r * sin \varphi, z = z$ nebo je v tomhle případě musím nějakým způsobem posunout? Pokud tedy uvažuju správně, dal by se objem celého tělesa vypočítat jako: "objem tělesa ohraničeného větším kruhem mínus objem tělesa ohraničeného menším kruhem"? Použitím válcových souřadnic bych tedy pro pro první těleso měl meze $0 \le r \le 2, 0 \le \varphi \le 2\pi , 0 \le z \le r$ a pro druhé $0 \le r \le 1/2, 0 \le \varphi \le 2\pi , 0 \le z \le r$ .

Geronimo

Ty souradnice jsou pouzite spravne a ani nemusis pocitat dve telesa.

Kdyz se podivas pozorne na ten rez rovinou xy, tak obe koule jsou posazene na pocatku.

Uhel $\varphi$ je tedy v intervalu $(0,\pi)$ , tj beres oba horni kvadranty.

Dosadme nyni $x=r\cos \varphi, y=r\sin \varphi$ do puvodnich rovnic nasich kruznic.

$x^{2} + y^{2} = 4y \\ r^2 \cos^2 \varphi + r^2 \sin^2 \varphi^2=4 r \sin \varphi \\ r^2 (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) - 4 r \sin \varphi = 0\\ r (r-4 \sin \varphi) = 0 \\ r=0 \vee r= 4 \sin \varphi$

$x^2 + y^2=y \\ r^2 \cos^2 \varphi + r^2 \sin^2 \varphi^2=r \sin \varphi \\ r^2 (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) - r \sin \varphi = 0\\ r (r- \sin \varphi) = 0 \\ r=0 \vee r= \sin \varphi$

Vysledky $r=0$ odpovidaji presne hodnotam pro $\varphi=0$ a $\varphi=\pi$ . Stejny vysledek dostaneme ale i dosazenim hodnot do rovnic $r=\sin \varphi$ .
Polomer je tedy z intervalu $(\sin \varphi , 4 \sin \varphi )$ .

Lehce zjistime, ze $z$ bude v intervalu $(0,r)$ .

Hlavne nezapomen na konci na Jacobian.

frog · 12. 10. 2012 16:57

Děkuju za pomoc. Takže až na ten úhel jsem snad postupoval správně. Dá se tedy řict, že protože ty koule jsou pouze v oblasti prvního a druhého kvadrantu je tedy úhel pouze (0,pi) a ne (0,2pi)?

Geronimo

Ano, to je spravna uvaha.
Samozrejme lze vhodnou transformaci prevest stredy kouli do pocatku.

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2012 14:34

Objem tělesa.

#2 12. 10. 2012 14:50 — Editoval Geronimo (12. 10. 2012 14:51)

Re: Objem tělesa.

#3 12. 10. 2012 15:03

Re: Objem tělesa.

#4 12. 10. 2012 15:28 — Editoval Geronimo (12. 10. 2012 15:29)

Re: Objem tělesa.

#5 12. 10. 2012 15:38 — Editoval frog (12. 10. 2012 15:43)

Re: Objem tělesa.

#6 12. 10. 2012 16:19 — Editoval Geronimo (12. 10. 2012 16:20)

Re: Objem tělesa.

#7 12. 10. 2012 16:57

Re: Objem tělesa.

#8 12. 10. 2012 17:18 — Editoval Geronimo (12. 10. 2012 17:19)

Re: Objem tělesa.

Zápatí