Matematické Fórum

adjamot

ahoj,
můžete mi, prosím, poradit se dvěma důkazy k následujícím větám ÚFY.

I. Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, dim X=n ( $n \in \mathbb{N}$ )
Pak $X$ je isomorfní v $\mathbb{R} ^n$

II. X je normovaný lineární prostor.
Pak lim $x_{n}=x$ $\Rightarrow$ lim $||x_{n}||=||x||$

Brano · 21. 10. 2012 11:38

II. Toto je trivialne, staci nerovnost $\big|\thinspace||x||-||y||\thinspace\big|\le ||x-y||$

I. Toto je trochu zdlhavejsie
1) Bijekcia je jasna: $f(x_1\mathbf{e_1}+...+x_n\mathbf{e_n})=(x_1,...,x_n)$ ( $\mathbf{e_n}$ je baza $X$ ).

2) Nech $B$ je jednotkova gula v $X$ a $E$ je jednotkova gula v Euklidovskom priestore $\mathbb{R}^n$ - oznacme $F=f(B)$ . Treba si uvedomit, ze gula s polomerom $r$ je $rE$ , resp. $rB$ (tu nasobime vsetky prvky mnoziny). Plati $rF=rf(B)=f(rB)$ .

3) Tou bijekciou $f$ resp. tou mnozinou $F$ sme zadali novu normu na $\mathbb{R}^n$ (jasne preco?) a chceme ukazat ich ekvivalentnost, teda chceme ukazat, ze existuju take $r,s>0$ take, ze $rE\subset F$ a $sF\subset E$ - to staci na spojitosti $f$ a $f^{-1}$ kedze su linearne.

4) Oznacme $\partial F$ hranicu $F$ . Plati $\partial F$ je kompakt a $\mathbf{0}\not\in\partial F$ (jasne preco?). Nech $||.||$ je teraz Euklidovska norma. Najdime $r=\min\{||x||;x\in\partial F\}$ - da sa to kvoli kompaktnosti, ocividne $r\ge 0$ , ale kedze $\mathbf{0}\not\in\partial F$ tak $r>0$ - a toto je to $r$ co treba v tretom bode. Analogicky (zamenou mnozin a noriem) sa najde $s$ .

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2012 09:21 — Editoval adjamot (21. 10. 2012 10:50)

Úvod do funkcionální analýzy

#2 21. 10. 2012 11:38

Re: Úvod do funkcionální analýzy

Zápatí