Matematické Fórum

6jojo · 22. 10. 2012 11:24

Prosim o pomoc pri vyšetrení konvergencie radu.

$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}*(\frac{3-(-1)^n}{n})$

Za pomoc vopred ďakujem

Rumburak · 22. 10. 2012 11:44

Když položíme

$a_n := (-1)^{n+1}\cdot \frac{3-(-1)^n}{n}$ , $b_k := a_{2k-1} + a_{2k}$ ,

jak to bude s konvergencí řady

(1) $\sum_{k=1}^{\infty } b_k$ ?

Potom si uvědomme, že posloupnost částečných součtů řady (1) je vybranou posloupností z posl. č. s. řady $\sum_{n=1}^{\infty } a_n$ .

6jojo · 22. 10. 2012 12:13

Keď to poupravujem bk vzchádza

$b_{k}:\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+1}{2k^2-k}$

Ako dokážem konvergenciu bk?

pitagor · 22. 10. 2012 14:40

Vložíme-li matematickou konvenci $\nabla$ neboli obrácený trojúhelník, zjistíme že stromy s touto úlohou nemá nic společného. Ale pokud to zderivujete třetí odmocninou $\nabla \int_{}^{}$ pravděpodobně dojdete ke špatnému výsledku.

Rumburak · 22. 10. 2012 15:18

↑ 6jojo:
Řada $\sum_{k=1}^{\infty } b_k = \sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+1}{2k^2-k}$ diverguje, o čemž se snadno můžeme přesvědčit srovnáním s harmonickou řadou $\sum_{k=1}^{\infty } \frac {1}{k}$ ,
jejíž divergence je celkem notoricky známa - viz srovnávací kriterium.

Rumburak · 22. 10. 2012 15:24

↑ pitagor:
A nechtěl bys to předvést podrobněji ?

6jojo · 22. 10. 2012 17:40

↑ Rumburak:

Ďakujem. Všetko mi je už jasné.

Tomas.P · 22. 10. 2012 20:14

↑ 6jojo:
Prosím, jak jsi poupravil to $b_k$ ? Předem děkuji za odpověď

6jojo · 25. 10. 2012 16:02

Až teraz som si na to našiel čas. Tu je moja úprava"

$b_{k}=\sum_{1}^{\infty }(-1)^{2k}*[\frac{3-(-1)^{2k-1}}{2k-1}]+(-1)^{2k+1}*[\frac{3-(-1)^{2k}}{2k}]$

$b_{k}=\sum_{1}^{\infty }[\frac{3-(-1)}{2k-1}]+(-1)*[\frac{3-1}{2k}]$
$b_{k}=\sum_{1}^{\infty }\frac{4}{2k-1}+\frac{-2}{2k}$
$b_{k}=\sum_{1}^{\infty }\frac{2k+1}{2k^2-1k}$