Matematické Fórum

kager · 24. 10. 2012 21:53

Zdravím, prosím o pomoc ohledně určování monotónosti a sudosti popřípadě lichosti při skládání dvou funkcí.
-monotónost
Ve škole nám naznačili že bychom k tomu měli dojít díky tomu že vímě že u rostoucí funkce platí x1<x2 a f(x1)<f(x2) a u klesající funkce platí x1<x2 a f(x1)>f(x2). Dokážu si to zdůvodnit na příkladu, ale jak to vyjádřit jako obecnou definici mi uniká.
Jedná se mi o určení monotónosti když mám např. f (rostoucí) g(klesající) a mám zjistit jak je to pro y=f∘g (g vloženo do f)

-sudost, lichost
tak nějka tuším že řešení bude velice podobné jako u vyšetřování monotónosti. Opět vím že u sudé funkce platí f(x)=f(-x) a u liché f(-x)=-f(x) a dokážu si to zdůvodnit příkladem. Zároveň, ale opět nevím jak to využít pro definici u skládání nebo násobení dvou fcí přičemž pro každou z nich platí lichost nebo sudost.

Předem díky za pomoc

Bati · 25. 10. 2012 10:56

Ahoj,
ok, nechť je tedy f rostoucí a g klesající. Pak platí:
$\forall y_1,y_2\quad y_1<y_2:\quad f(y_1)<f(y_2)$
$\forall x_1,x_2\quad x_1<x_2:\quad g(x_1)>g(x_2)$
Vezměme tedy nějaká $x_1,x_2$ tak, že $x_1<x_2$ . Pro ně tedy platí $\quad g(x_1)>g(x_2)$ . Nyní stačí zvolit $y_1=g(x_2)$ a $y_2=g(x_1)$ . Pak platí:
$f(y_1)<f(y_2)\Leftrightarrow f(g(x_2))<f(g(x_1))\quad\forall x_1,x_2\quad x_1<x_2$
Funkce $f\circ g$ je tedy klesající.

Poznámka:
Je dobré si to umět představit a odpovědět i bez takovéhoto důkazu. Nebo si pamatovat, že to funguje stejně, jako násobení + a -, kde + odpovídá rostoucí fci, - klesající a násobení odpovídá skládání.
A nevím, jak jste si to definovali, ale je třeba vždy uvést na jaké množině je ta funkce monotonní.
Sudost a lichost se dělá analogicky.

kager · 25. 10. 2012 12:11

↑ Bati: zřejmě už sem se chytil, díky moc

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2012 21:53

řešení monotónosti a sudosti složených funkcí

#2 25. 10. 2012 10:56

Re: řešení monotónosti a sudosti složených funkcí

#3 25. 10. 2012 12:11

Re: řešení monotónosti a sudosti složených funkcí

Zápatí