Matematické Fórum

Domingster · 29. 10. 2012 20:14

1) Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem M [30; 24] a má ohniska v bodech F1 [0;4odmocniny ze 6], F2 [0; -4odmocniny ze 6].

Tuším že se tu budou porovnávat nějaké rovnice, jenže nevím jak rovnici vytvořit, zjistím, že S je v bodech [0; 0] a že excentricita je 4odmocniny ze 6 jenže jak dál? Poradí prosím někdo?

2) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty a1, a2 mají rovnice a1: y=2x, a2: y=-2x a jeden vrchol B [3; 0].

Tady bohužel nevím ani jak začít. Byl bych rád, kdyby se našel někdo, kdo si s tim ví rady.

BakyX · 29. 10. 2012 20:27 — Editoval BakyX (29. 10. 2012 20:28)

Ahoj. Jeden príklad = jedna téma. Nevadí...

Predpokladám, že hľadáme hyperboly, ktorých os(i/y) sú rovnobežné so súradnicovými. Také hyperboly majú rovnicu

$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ (1)

Stred tejto hyperboly je bod $[m,n]$ . Koeficienty $a,b$ sú dĺžky polosi a platí pre ne vzťah $a^2+b^2=e^2$ , kde $e$ je $excentricita$ .

Z tvojho zadania zjavne vieš určiť súradnice stredu $S$ (máš teda koeficienty $m,n$ ). Ďalej vieš vypočítať excentricitu. Takto z $a^2+b^2=e^2$ získaš vzťah medzi $a^2, b^2$ .

Ostáva dať do riešenia poslednú informáciu a síce, že prechádza bodom $M[30,24]$ . To je však jednoduché, pretože súradnice $x,y$ všetkých bodov $X[x,y]$ , ktoré na tejto hyperbole ležia, musia splňovať rovnicu (1) (tak funguje rovnica útvarov v AG). Získaš tak ďalší vzťah medzi $a^2,b^2$ a tým pádom ich už môžeš vyrátať.

Domingster

Díky za reakci, ale kámo, bohužel si stále nevím rady. Vše co jsi napsal tak nějak vím, ale zkrátka si nevím rady jak to dát dohromady s těmi příklady. Nemohl by jsi mi prosimtě pomoct rovnou jak na ty příklady? :) Byl bych ti vděčnej. :)

BakyX · 29. 10. 2012 20:36 — Editoval BakyX (29. 10. 2012 20:40)

↑ Domingster:

No tak napríklad ted stred $S[m,n]$ . Je definovaný ako stred spojnice ohnísk. Súradnice ohnísk máš. Vieš z tých súradníc určiť súradnice ich spojnice ?

Excentricita je polovička dĺžky spojnice ohnísk. Súradnice ohnísk máš, vieš vypočítať ich vzdialenosť ? A keď ju vypočítaš, dosadíš do rovnice $a^2+b^2=e^2$ (rovnica 1)

Bod M[30; 24] má ležať na hyperbole $\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ , preto má platiť $\frac{(30-m)^2}{a^2}-\frac{(24-n)^2}{b^2}=1$ . Nakoľko už $m,n$ máš, tak máš (rovnicu 2)

Rovnica 1 a Rovnica 2 tvoria sústavu o neznámych $a^2,b^2$ . Tie vyrátaš a máš kompletnú rovnicu tej hyperboly.

Domingster · 29. 10. 2012 20:45

Jo takhle. Super díky moc. A nevěděl bys i ten druhý prosímtě? :)

BakyX · 29. 10. 2012 22:30 — Editoval BakyX (29. 10. 2012 22:32)

2. príklad môžme riešiť takto:

Použitím poznatku, že asymtoty sa pretínajú v strede hyperboly ľahko vyrátame súradnice stredu.

Zistíme, že spojnica vrcholu (daného bodu $B$ ) a tohto stredu je rovnobežná s osou $x$ (konkrétne je s ňou totožná).

Použitím toho, že stred hyperboly je stred spojnice vrcholov hyperboly ľahko určíme súradnice druhého vrcholu hyperboly.

Môžme vyrátať číslo $a$ . To je vlastne vzdialenosť stredu hyperboly od nejakého vrcholu. Ostáva určiť číslo $b$ .

Teraz potrebujeme lepšie využiť to, že priamky $y=\pm 2x$ sú asymtoty. Jedna možnosť je použiť ten fakt, že všeobecná rovnica asymptot je

$\frac{x-m}{a}=\pm \frac{y-n}{b}$

Táto rovnica má byť ekvivalentné s rovnicou $y=\pm 2x$ . Po dosadení môžeme $x$ vykrátiť a nájdeme hodnotu $b$ .

Ďalšia možnosť je postupovať takto. Základná vlastnosť týchto priamok je, že nemajú s hyperbolou priesečník. To sa dá vyjadriť tak, že neexistujú také čísla $[x,y]$ , že súčasne tento bod leží na asymtote s rovnicou $y=2x$ a zároveň na hyperbole s rovnicou

$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$

Dosadením $y=2x$ do tejto rovnice teda musíme dostať rovnicu, ktorá nemá v obore reálnych čísel riešenie. Na základe toho určíme hodnotu $b^2$ a máme kompletnú rovnicu.