Matematické Fórum

durlinak

Ahoj potřeboval bych poradit s příkladem.
Skoro netuším jak se to dělá. Budu rád za každou pomoc

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+n^{2}=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$

A Mám dokázat že to platí pro všechny $\mathbb{N}$

skoroakvarista · 01. 11. 2012 11:49

↑ durlinak:
Zdravím, lze použít matematickou indukci nebo sumu $\sum_{k=1}^n (k+1)^3-k^3$ . Matematická indukce je jasná, u sumy to chce nápad.

durlinak · 01. 11. 2012 12:43

↑ skoroakvarista:

Díky za rakci ale vážně ty důkazy neumím nešlo by to trošku nějak rozepsat prosím?

skoroakvarista · 01. 11. 2012 12:57

↑ durlinak:
Dobře, tak to zkusíme nejprve se sumou. Sumu $\sum_{k=1}^n (k+1)^3-k^3$ můžeme rozepsat dvěma způsoby.
1) $\sum_{k=1}^n (k+1)^3-k^3=\sum_{k=1}^n (k+1)^3-\sum_{k=1}^n k^3$ Dokážeš to dál upravit? Doporučuji si obě sumy rozepsat pro konkrétní malé n a podívat se, co se odečte.
2) $\sum_{k=1}^n (k+1)^3-k^3=\sum_{k=1}^n k^3+3k^2+3k+1-k^3$ Zase je potřeba upravit dál. Vyleze tam $\sum_{k=1}^n k^2$ , což je vlastně levá část tvé zadané rovnosti.
Potom můžeš 1) porovnat s 2) a vyjádřít $\sum_{k=1}^n k^2$ .

durlinak · 01. 11. 2012 13:02

↑ skoroakvarista:

Než s tím začnu. Nejde to udělat jinak než s těma Sumama? :(

skoroakvarista · 01. 11. 2012 13:11

↑ durlinak:
Jde to indukcí, není to taky nijak těžké. Ale věř, že přes ty sumy to už není těžké, to důležité jsem naznačil. Zkus se nad tím zamyslet a nějak to dáme do kupy.

durlinak · 01. 11. 2012 13:13

↑ skoroakvarista:

Neuděláme to spíš přes tu indukci? Jestli je na to nějaký vzoreček nebo tak...

skoroakvarista · 01. 11. 2012 13:21

↑ durlinak:
Vzoreček to tak úplně není. Indukce se skládá vlastně ze dvou kroků.
1) Musíš dokázat rovnost pro pevně zvolené n. Obvykle se používá n=1.
2) Víš, že rovnost platí pro nějaké n a musíš ji dokázat pro n+1. Tedy v celé rovnosti místo n napíšeš n+1 a s využitím toho, že platí rovnost pro n, dokážeš platnost i pro n+1.

durlinak · 01. 11. 2012 13:42

↑ skoroakvarista:

to n+1 mám dosadit do celý rovnice? do pravý snad vím jak
$(n+1)*[(n+1)+1]*[2*(n+1)+1]$
ale stou levou nevím

durlinak · 01. 11. 2012 13:53

↑ skoroakvarista:
Já to vzdávám já vážně nevím co s tím jdu dělat něco lehčího :D

vanok · 01. 11. 2012 14:07 — Editoval vanok (01. 11. 2012 14:45)

Pozdravujem,
vlani som tu dal viacej dokazov na tuto temu.... ak sa ti to podari najst, moze ti to dat myslienky.

Pridavam este jeden dokaz bez slov ( komentare su tam po francuzky, ale malinky slovnik postaci)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_san … es_entiers

skoroakvarista · 01. 11. 2012 14:12

↑ durlinak:
Tak levá vypadá takto $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+n^{2}+(n+1)^2$ . Teď musíš upravit pravou stranu tak, abys tam dostal . A to něco by mělo být právě $(n+1)^2$ .

Rumburak

↑ durlinak:
Ahoj. Zkusím tu techniku důkazu indukcí vysvětlit ještě trochu podrobněji.

Dokazujeme tedy platnost vzorce

(1) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} , n = 1, 2, 3, ...$ .

1.krok: Ověříme zkouškou, že vzorec (1) platí pro $n = 1$ . To je velmi snadné, protože při volbě $n = 1$ je levá strana
vztahu (1) "z povahy věci" rovna $1^2 = 1$ , při tom pravá strana bude (dosazením $n = 1$ )

$\frac{1(1+1)(2\cdot 1+1)}{6} = \frac{2\cdot 3}{6} = 1$ ,

tedy ve shodě s levou stranou.

2. krok: Předpokládáme, že $k$ je přirozené číslo takové, že pro $n = k$ je vzorec (1) splněn. Takový předpoklad je opravněný,
protože z prvního kroku máme dokázáno, že vzorec (1) platí přinejmenším pro $n = 1$ . Za číslo $k$ tedy můžeme určitě vzít číslo 1
(a případně možná i některé další, o kterém prozatím nevíme). Pro toto číslo $k \in \{1, 2, 3, ... \}$ tedy máme platné tvrzení

(2) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

a na jeho základě se snažíme dokázat platnost výroku

(3) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)(k+2)$2(k+1)+1$}{6}$

vzniklého z (1) dosazením $n = k+1$ . Postupujeme tak, že levou stranu rovnosti (3) upravíme dosazením dle (2) a o výrazu
takto vzniklém dokazujeme - například algebraickými úpravami - že je roven pravé straně z (3). Konkretně:

(4) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+(k+1)^{2}= \\ = (1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+.....+ k^2)+(k+1)^{2}= \\=\frac{k(k+1)$2k+1$}{6} + (k+1)^{2}$ ,

cílem je dokázat, že výraz (4) je roven pravé straně rovnosti (3). To už zkus dokončit sám.

durlinak · 01. 11. 2012 17:15

↑ Rumburak:
OK tak jestli jsem to dobře pochopil tak už stačí jen upravit ten bod (4) a pravou stranu bodu (3) a pokud se budou rovnat tak to platí?

skoroakvarista · 01. 11. 2012 17:33

↑ durlinak:
Ano, upravit pravou stranu rovnosti (3) a výraz (4) do stejného tvaru. Pokud se budou rovnat, můžeš prohlásit, že platí 2. bod MI, jak jsem psal ↑ zde:. A tedy je rovnost splněna pro všechna přirozená n.

durlinak · 01. 11. 2012 18:39

Super :D Tak snad mám hotovo :D Děkuji všem

Rumburak · 02. 11. 2012 09:30

↑ durlinak:
Když nás vhodné úpravy, jak převést jeden výraz na druhý, nenapadají, můžeme postupovat i tak,
že zkoumáme jejich rozdíl a snažíme se ukázat, že je roven 0 .

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2012 11:12 — Editoval durlinak (01. 11. 2012 11:13)

Důkazy

#2 01. 11. 2012 11:49

Re: Důkazy

#3 01. 11. 2012 12:43

Re: Důkazy

#4 01. 11. 2012 12:57

Re: Důkazy

#5 01. 11. 2012 13:02

Re: Důkazy

#6 01. 11. 2012 13:11

Re: Důkazy

#7 01. 11. 2012 13:13

Re: Důkazy

#8 01. 11. 2012 13:21

Re: Důkazy

#9 01. 11. 2012 13:42

Re: Důkazy

#10 01. 11. 2012 13:53

Re: Důkazy

#11 01. 11. 2012 14:07 — Editoval vanok (01. 11. 2012 14:45)

Re: Důkazy

#12 01. 11. 2012 14:12

Re: Důkazy

#13 01. 11. 2012 16:27 — Editoval Rumburak (01. 11. 2012 16:29)

Re: Důkazy

#14 01. 11. 2012 17:15

Re: Důkazy

#15 01. 11. 2012 17:33

Re: Důkazy

#16 01. 11. 2012 18:39

Re: Důkazy

#17 02. 11. 2012 09:30

Re: Důkazy

Zápatí