Matematické Fórum

abak · 01. 11. 2012 15:27 — Editoval abak (01. 11. 2012 15:29)

Prosím o pomoc s důkazem asociativity skalárního součinu, mohu vycházet pouze z definice skalárního součnu, který je definován takto:
$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u}, \vec{v}))$

A pro samotný vztah asociativity dvou vektorů a skaláru platí:
$(\alpha \vec{u})v=\alpha (\vec{u}\cdot \vec{v})$

Postupoval jsem takto: Odkaz

Což by sice mělo být správně, ale nejde o formální matematický postup. Je nutné úpravami levé strany rovnice získat pravou stranu rovnice, nelze operovat s celou rovnicí najednou. Už se s točím na jednom místě pěkně dlouhou dobu, neměl by někdo nápad, jak důkaz provést? Je nutné uvažovat dva různé případy nastavení $\alpha$ .

skoroakvarista · 01. 11. 2012 16:04

↑ abak:
Zdravím, když přehlédnu zápis $\cos(\vec{u},\vec{v})$ (ale rozumím), tak bych za největší problém viděl tvou víru v platnost rovnosti $\cos(x)=-\cos(-x)$ , to platí jen pro některá x. Ale $\cos(x)=\cos(-x)$ platí na R.

vanok · 01. 11. 2012 19:47

Poznamka: ako definujes pojem asociociativy, v tvojej situacii?

abak · 01. 11. 2012 22:57 — Editoval abak (01. 11. 2012 22:58)

skoroakvarista napsal(a):
↑ abak:
Zdravím, když přehlédnu zápis $\cos(\vec{u},\vec{v})$ (ale rozumím), tak bych za největší problém viděl tvou víru v platnost rovnosti $\cos(x)=-\cos(-x)$ , to platí jen pro některá x. Ale $\cos(x)=\cos(-x)$ platí na R.

Díky to jsem naprosto suveréně přehlédl, to bude nejen mou zbrklostí. Za ten zápis úhlu ve funkci cos pomocí dvou vektorů se omlouvám.

vanok napsal(a):
Poznamka: ako definujes pojem asociociativy, v tvojej situacii?

Nechť jsou dány vektory $\vec{u}, \vec{v} \in V$ a $\alpha \in \mathbb{R}$ , kde V je vektorový prostor, pak pro jejich asociativitu platí: $(\alpha \vec{u})\cdot \vec{v}=\alpha (\vec{u}\cdot \vec{v})$

Výjdu-li z definice skalárního součinu, pak musí rovněž platit vztah:|\alpha \vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos \varphi' =\alpha (|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos \varphi) Odkaz (*latexový text se sem nezobrazuje správně)

Kde \varphi '=\sphericalangle (\alpha \cdot \vec{u},\vec{v}) Odkaz a \varphi =\sphericalangle (\vec{u},\vec{v})Odkaz (*latexový text se sem nezobrazuje správně)

Brano · 01. 11. 2012 22:59 — Editoval Brano (02. 11. 2012 01:24)

Takato definicia naznacuje, ze uhol dvoch vektorov zistujes nejak geometricky, lebo v algebre je to uhol, ktory je definovany cez skalarny sucin. V geometriii je "jasne", ze
$|\alpha\vec{u}|=|\alpha||\vec{u}|$ ,
$\sphericalangle (\alpha\vec{u}, \vec{v})=\sphericalangle (\vec{u}, \vec{v})$ (pre $\alpha>0$ ),
$\sphericalangle (\alpha\vec{u}, \vec{v})=\pi-\sphericalangle (\vec{u}, \vec{v})$ (pre $\alpha<0$ ) a
$-\cos(x)=\cos(\pi-x)$ (over na jednotkovej kruznici).
Dohromady to uz das (tak ako si to robil).

abak · 04. 11. 2012 11:56

Tisíceré díky, pokusím se důkaz převést do formální podoby.

Volím alfa > 0 a postupuji takto:

$L=|\alpha \vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\alpha \vec{u},\vec{v}))=|\alpha| |\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))=\alpha (|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))$
$P=\alpha (|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))$
$L=P$

A pro alfa < 0:
$L=|\alpha \vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\alpha \vec{u},\vec{v}))=|\alpha| |\vec{u}||\vec{v}|\cos (\pi - \sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))=-|\alpha| |\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))=\alpha (|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))$
$P=\alpha (|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\sphericalangle (\vec{u},\vec{v}))$
$L=P$

Vztah platí pro všechna $\alpha \in \mathbb{R}$ .

Lze tento postup považovat za správný?