Matematické Fórum

loney · 02. 11. 2012 21:24

Ahoj,

mám problém pochopit faktorizaci množiny podle relace ekvivalence E. Nebo přesněji nechápu tu notaci a co si pod tím představit. Vím, že faktorizace je definována takto

$A/E=\{[x]_E; x \in A\}$

ale co znamená to x v těch závorkách s indexem E ? A co ta faktorizace vlastně dělá ?
Má to něco společného s rozkladem množiny ?

Předem díky za jakékoliv postrčení :)

check_drummer · 02. 11. 2012 21:45

↑ loney:
Ahoj, stručně řečeno, z prvků, které jsou v relaci E, vytvoříš jeden bod.

smatel · 02. 11. 2012 21:50

Ahoj,
ekvivalence je v tomto případě dána tím $[x]$ , ty závorky znamenají "celá část". Jak funguje ta celá část se dočteš třeba tady. Tady se asi bude jednat o dolní celou část. Dolní celá část pro dané číslo je nejbližší nejmenší celé číslo. Tedy např: $[3,14] = [3,5]=[3]=[3,0\bar{1}] =\ldots = 3$

Pokud je zadána ekvivalence s celou částí, znamená to, že každé dva prvky dané množiny jsou ekvivalentní tehdy, pokud je jejich celá část stejná.

Pokud tedy vyhledáme navzájem ekvivalentní prvky (v dané množině A), a seskupíme je na hromádku (na určité hromádce budou všechna x, které mají stejnou $[x]$ , získáme tak několik množin, kterým se říká "třídy ekvivalence". A pokud vezmeme množinu všech těchto hromádek (=tříd ekvivalence), tak dostaneme faktorovou množinu (dle relace ekvivalence E).

S rozkladem množiny to souvisí, neboť ty třídy ekvivalence jsou navzájem disjunktní, můžeme tedy faktorovou množinu dle ekvivalence chápat jako určitý disjunktní rozklad množiny A.

loney · 02. 11. 2012 22:31

Aha, tak ještě se zeptám formou příkladu. Mám danou množinu

$A =\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9\}$

a relaci ekvivalence E, což je zbytek po dělení třemi. Tato ekvivalence mi množinu rozdělí na tři podmnožiny

$\bar{0} = \{3, 6, 9\} \bar{1} = \{1, 4, 7\}\\ \bar{2} = \{2, 5, 8\}\\$

Tím pádem moje faktorizace bude vypadat jako

$A/E=\{\{1, 4, 7\}, \{2, 5, 8\}, \{3, 6, 9\}\}$

A nebo bych to měl zapsat pomocí těch hodnot, co reprezentují konkrétní třídy, tedy takto

$A/E=\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}\}$

?

jarrro · 02. 11. 2012 22:34 — Editoval jarrro (03. 11. 2012 08:04)

↑ smatel:kde je napísané že je to práve celá časť podľa mňa je to označenie pre triedu ekvivalencie teda množinu všetkých prvkov ktoré sú s x v ekvivalencii E tie pruhy, trojprvkové množiny alebo hranaté zátvorky značia to isté teda je jedno čo použiješ

loney · 02. 11. 2012 23:06

Tak v tom případě už je mi to celkem jasné,

Díky moc :)

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2012 21:24

Faktorizace množiny

#2 02. 11. 2012 21:45

Re: Faktorizace množiny

#3 02. 11. 2012 21:50

Re: Faktorizace množiny

#4 02. 11. 2012 22:31

Re: Faktorizace množiny

#5 02. 11. 2012 22:34 — Editoval jarrro (03. 11. 2012 08:04)

Re: Faktorizace množiny

#6 02. 11. 2012 23:06

Re: Faktorizace množiny

Zápatí