Matematické Fórum

Kláraaa · 03. 11. 2012 11:01

Válcová plechovka o hmotnostiM a výšceH je vyrobena z homogenního materiálu a naplněna limonádou o hmotnosti m. Do dna a horní podstavy plechovky vyvrtáme maléotvory, aby nápoj mohl vytékat. Okamžitou výšku těžiště plechovky nad jejím dnem označíme h. Určete hodnotu h
(a) pro plnou plechovku
(b) v okamžiku, kdy již všechen nápoj vytekl.
(c) Jak se mění hodnota h během vytékání nápoje?
(d) Okamžitou výšku zbývajícího sloupce kapaliny v plechovce označme x. Vyjádřete hodnotu x pomocí M, H a m v okamžiku, kdy je těžiště plechovky se zbytkem nápoje v nejnižší možné poloze.

Prosím prosím o radu. s D. U A a B je mi to jasné, u C bych řekla, že se těžiště snižuje dokud nevyteče všechna kapalina , poté se vrátí do H/2, ale nevím jak jít na D.

zdenek1 · 03. 11. 2012 15:50

↑ Kláraaa:
S C) nemáš pravdu.
Když si zavedeš délkovou hustotu limonády $\tau =\frac{m}{H}$ , bude závislost hmotnosti limonády na výšce $x$ limonády $m(x)=\tau x=\frac mHx$
Pro polohu těžište platí
$x_T=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$ , takže s našimi proměnnými
$h(x)=\frac{M\frac H2+\frac mHx\frac x2}{M+\frac mHx}=\frac{MH^2+mx^2}{2(MH+mx)}$
Pro ilustraci přikládám graf, kde M=m=H=1 (samozřejmě platí jen pro 0<x<1)

A nyní by měl být jasný postup u D)
Zderivuješ funkci a najdeš minimum.

Kláraaa · 03. 11. 2012 16:01

↑ zdenek1:
Takže pokud dobře chápu, tak v tom c) klesá těžiště d té doby, než řekněme hmotnost plechovky nevykompenzuje hmotnost zbylé kapaliny ( mám myšlenku, ale asi se špatně vyjadřuju :)
Ale teď už to snad chápu. Mo děkuju :)

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2012 11:01

Těžiště

#2 03. 11. 2012 15:50

Re: Těžiště

#3 03. 11. 2012 16:01

Re: Těžiště

Zápatí