Matematické Fórum

vanok · 03. 11. 2012 14:41

Zda sa mi ze toto cvicenie je velmi zaujimave.

Vysetrite ci rada vseobecneho clenu:

$\frac {(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$

je konverrgentna alebo divergentna?

Kto nam ho vyriesi?

didik · 04. 11. 2012 11:58 — Editoval didik (04. 11. 2012 14:45)

Co třeba takhle:
Když uzávorkuji členy řady po dvou dostanu n-tý člen takovýto $\sqrt {2n+1}+\sqrt{2n}$ . Řada s takovýmto n-tým členem diverguje, protože n-tý člen nejde k nule, a tedy i původní řada musí divergovat.

vanok · 04. 11. 2012 15:37 — Editoval vanok (04. 11. 2012 15:38)

Ahoj ↑ didik:,
Zial to nie je riesenie.
Hladaj este....
Ak treba dam nejaku pomoc.

Marian · 05. 11. 2012 16:18

↑ vanok:

Bohužel je tato úloha neúplná. Míníme-li formální výraz

potom se nejedná o nekonečnou řadu reálných čísel. Je nutno specifikovat indexovou množinu, potom má smysl zabývat se úlohou seriózně. Důvodem není popichování účastníka fóra, ale mé poučení o tom, že změna indexové množiny nekonečné řady reálných čísel znamená někdy zásadní změny v konvergenci studované řady.

Brano · 05. 11. 2012 16:39

Isteze, vyraz pre $n=1$ nema zmysel, tak predpokladam, ze sa jedna o rad

vanok · 05. 11. 2012 17:43 — Editoval vanok (05. 11. 2012 17:45)

Pozdravy,
↑ Marian:
Podla mna, ak to nie je napisane, ide o radu uvazovanu na najvadcej moznej vhodnej podmnozine z $\mathbb{N}$ . Co da uz prvu uvahy o rade.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ako to poznamenal kolega ↑ Brano:

Inac, sa mi zda, ze ide o cvicenie, z ktoreho, zaciatocnik moze mat osoh.

Marian · 06. 11. 2012 12:33

↑ vanok:

Hledal jsem nejelementárnější cestu. Řešení jsem již našel, teď si najít chvíli času a napsat to tady. Snad mi to vyjde ještě tento týden.

Případně se těším na řešení kolegů/kolegyň.

vanok · 06. 11. 2012 15:29

↑ Marian:,
Ahoj, rad si precitam tvoj dokaz, moj spociva previest tuto radu na sucet troch konvergeentnych rad... Ak budem mat trochu casu, napisem ho tu.
I ked by som rad; videl nejake dokazy, od kolegov, co su este studenty.

Marian · 08. 11. 2012 13:05 — Editoval Marian (08. 11. 2012 13:30)

Nabízím své elementární řešení...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT
Jak jsem však právě našel, lze aplikovat i tzv. Dedekindovo kriterium konvrgence nekonečné řady (viz např. zde).

vanok · 08. 11. 2012 14:26 — Editoval vanok (13. 11. 2012 18:54)

Pozdravujem ↑ Marian: a dakujem, ze ta tento maly problem zaujal, ako aj vsetkych inych, co skusili ho vyriesit,
Pridavam dalsie riesenie (neelementarne ale trochu kratcie).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Poznamky:
1°

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2°

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: upresnenie jedneho pojmu.

check_drummer

Ahoj, zkusil jsem toto:
(Děkuji kolegovi vanok za upozornění na chybu. Opravil jsem. Naštěstí nemá podstatný vliv na výsledek.)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 09. 11. 2012 08:44

↑ check_drummer:

U neabsolutně konvergentních řad nelze jednoduše skupinkovat.

check_drummer · 09. 11. 2012 20:56

↑ Marian:
Ahoj, existuje nějaký protipříklad? (Pozor, skupinkuji, avšak nepermutuji...)
Dle mého bude mít posloupnost částečných součtů po "skupinkování" stejnou limitu jako bez skupinkování, tj. označím-li např. pro obecnou $a_n$ , kde $a_n \rightarrow 0$
$S(N):=\sum_{n=1}^{N}{a_n}$
a $b_k:=a_n+a_{n+1}$ pro n=2k-1 (pro n sudé bychom postupovali analogicky),
$T(N):=\sum_{n=1}^{N}{b_n}$ pak je
$S(N)=T(\frac{N}{2})$ pro N sudé
$S(N)=T(\frac{N-1}2) + a(N)$ pro N liché
Ovšem jelikož $a_N \rightarrow 0$ , máme shodnou limitu pro S(N) a T(N)...
Jinými slovy, z konvergence T(N) plyne konvergence S(N).

vanok · 11. 11. 2012 15:40 — Editoval vanok (11. 11. 2012 15:41)

Ahoj e]p314926|check_drummer[/re],
Klasicky mame tuto radu:
1-1+1-1+1-1+...
A podla grupovania dostanes
(1-1)+(1-1)+... , cize 0+ 0 + 0 +...
alebo aj
1 +(-1+1) + (-1+1)+... , cize 1+0 + 0 +...

Preto, zda sa mi, kolegovu poznamku, mozes aj takto interpretovat. Aka vlasnost ti povoluje grupovat ( skupinkovat) jej cleny.

V literature o tom iste najdes. Ide tzv. processusy "sumacie". Ak ta to zaujima podrobnejsie, a nic nenajdes na webe, napis nam tu.

check_drummer · 11. 11. 2012 21:19

↑ vanok:
Ano, ale naše řadá má podstatnou vlastnost - limita jejích členů jde k 0, tedy lze (dle mého) použít mou úvahu výše o ekvivalentním tvrezní o konvergenci obou řad.

Honza90 · 11. 11. 2012 23:19

Tuto ulohu som polozil aj z umyslom, ze niekto by si mohol mysliet, ze ide o alternovanu radu .... ale zial tomu nie je tak.

Tomu nerozumím, řada na první pohled alternuje.

vanok · 11. 11. 2012 23:20 — Editoval vanok (12. 11. 2012 15:41)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Najprv, pripominamù, ze som vobec nekontestoval tvoj vysledok, chcem ta len dovies k presnemu vyroku (VETE) co musi splnovat grupovanie radov, tak aby sa neznmenila jej konvegencia.

A teraz ti dam dalsi priklad na grupovanie?
Uvazujme toto grupovanie: $\varphi (p)= p(p+1)$
( ktora je striktne stupajuca $N-->N$ ) .
Pre $u_n= \frac 1 {p+1}$ ak $n\in [p(p+1); (p+1)^2[$
a $u_n=- \frac 1 {p+1}$ ak $n\in [(p+1)^2; (p+1)(p+2)[$ .

Polozme $v_p= \sum_{n= \varphi(p)}^{\varphi (p+1]-1} u_n$ .

Tu mame $\lim _{ n\to + \infnty }=0$ .
A co mame pre $(u_n)$ a pre $(v_p)$ ?
odpoved

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A teraz veta, co urci podmienky, kedy je mozne grupovanie ( pripade klasickych radov ... co je jednoduchy pripad "sumacie")

Veta:
Uvazujme rad $(u_n)$ ( z clenmy v $\mathbb{R}$ )
a
$\varphi$ , striktne stupajucu aplikaciu z $\mathbb{N}$ do $\mathbb{N}$ ; taku ze
$\varphi(0)=0$ .
Definujme radu $(v_p)$ tak, ze $v_p= \sum_{n= \varphi(p)}^{\varphi (p+1]-1} u_n$ .
Ak postupnost $(u_n)$ konverguje k $0$
a
ak $(\varphi (p+1) - \varphi (p) )$ je konecna ( bornée).
Vtedy konvergencia rady $(u_n)$ je ekvivalentna z kovergenciou rady $(v_n)$ .
( a vtedy maju tu istu limitu )
Poznamka:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 13. 11. 2012 17:44

↑ check_drummer:

Ahoj, nemohl jsem se dostat dříve ke zdejšímu fóru. Máš naprostou pravdu. Lze vyštřit konvergenci tebou navrženým způsobem. Podstatné je, že posloupnost {a_n} je nulová, tj. má nulovou limitu.

Nevím, proč mě to nenapadlo, řešit úlohu tímto způsobem.

Brano · 13. 11. 2012 18:39

↑ Honza90:
Ano alternuje, tipol by som ze vanok tym myslel, ze nesplna kriterium pre konvergenciu alternujuceho radu. (Leibnizovo sa tusim vola.)

vanok · 13. 11. 2012 18:52 — Editoval vanok (13. 11. 2012 23:20)

↑ Brano:, Presne ako pises, chcel som vyjadrit, ze ta rada nesplna hypotezy vety o alternujucom rade: cize neustale meni znamienko a aj v absolutnej hodnote klesa k nule.
( reeditujem to vyssie, aby to nebolo nepresne)