Matematické Fórum

hana.kotorova · 11. 11. 2007 21:07

Jak na tento příklad: Je dána kružnice k(S;r) a bod M vně kružnice k. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je k kružnice vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníka.
Nedokážu s tím hnout, nevím ani jak dostanu bod dotyku, abych si udělala tečnu ke kružnici z bodu M, pak už bych se snad chytla.
Díky.

Almion · 11. 11. 2007 21:30

Bod dotyku ziskas tak, ze sestrojis Thaletovu kruznici nad prumerem MS (Stredem je stred usecky MS, polomerem polovina jeji delky).
Body dotyku jsou pruseciky obou kruznic.

Pokud bys potrebovala i dalsi radu, napis... :-) (ac postup, ktery me napadl v sobe nezahrnuje zadnou osovou soumernost, tak zkusim popremyslet nad nejakym, ktery jej zahrnuje)

Ivana · 11. 11. 2007 21:43

Pro hana.kotorova :

Tak já ti poradím s těmi tečnami ke kružnici z bodu M ,který leží vně kružnice.

1. Sestroj kružnici k( S ,r)
2. bod M ,který leží vně kružnice k
3. spoj body SM a najdi pomocí kružítka jejich střed S'
4. nyní sestroj kružnici l se středem S' o plolměru S'M
5. tam kde se protínají kružnice k a l jsou body dotyku budoucích tečen kmenové kružnice k
6. spoj body dotyků s vnějším bodem M a máš dvě tečny ke kružnici k

A potom přemýšlej dál o rovnostranných trojúhelnících.Snad tě něco napadne . :-) Ivana

hana.kotorova · 11. 11. 2007 23:20

Děkuju, trochu se stydím, že mě to nenapadlo. Dál bych si bod dotyku spojila se středem a protáhla dál, čili bych si sestrojila jednu z os úhlu. Na této ose musí ležet třetí bod trojúhelníku. Pak bych si pod úhlem 120 stupňů udělala další osy úhlů, které jsou v tomto případě totožné s osami stran, a jejich průsečíky s tečnou jsou vrcholy trojúhelníka. Třetí vrchol bude osově souměrný s oběma, takže mám na výběr, podle kterého ho sestrojím.
A protože se po mě chtějí všechny trojúhelníky, ten samý postup udělám i pro druhou tečnu z bodu M.
Je to takhle dobře? Bude mi uznáno, že jsem použila osovou souměrnost?

Ivana · 12. 11. 2007 06:35

Pro hana.kotorova :
Já pořád nevím ,proč hovoříš o 120°,když rovnostranný trojúhelník má všechny tři úhly stejné a tudíž je jejich hodnota 60°.
Možná sis to spletla s kruhem,který má 360°.

Tak tedy ti poradím.Vezmi si do ruky opět kružítko a narýsuj si znova kružnici k, pak si zvol bod M tak,aby jeho vzdálenost byla
dvojnásobná poloměru tvé kružnice.Po té všechno sestroj stejným způsobem,jako prve .

A teď :Protáhni si úsečku SM a to je osa úhlu těch dvou tečen a veď k ní kolmici,která se dotýká původní kružnice k.Tato kolmice je zároveň třetí stranou rovnostranného trojúhelníka .A když se na ní podíváš, tak je to zároveň tečna ke kružnici. Vznikne ti rovnostranný trojúhelník a jemu kružnice vepsaná.

Teď : Kolik je řešení? Nekonečně mnoho,protože mohu zvolit libovolný počet bodů M ,které mají stejnou i když dvojnásobnou vzdálenost od středu S.
A ještě tu osovou souměrnost : Osové souměrnosti jsi využila při přenášení bodu S´ podle osy ,která prochází středem S.Ale to už by chtělo obrázek.Myslím ,že to takhle stačí.
Hodně zdaru a buď úspěšná. :-) Ivana

hana.kotorova · 13. 11. 2007 10:34

No já myslela úhly, které mezi sebou svírají osy úhlů trojúhelníka navzájem. S tou tečnou kolmou k ose tečen, to nechápu. Ale myslím, že tak, jak jsem to vymyslela, to půjde, musím to zkusit opravdu narýsovat. Počet řešení je nekonečný, ale pro jeden konkrétní zadaný bod M jsou 2, ten druhý by měl být s tím prvním osově souměrný podle osy úhlu, který spolu svírají tečny procházející bodem M. Ale jistá si tím nejsem, napadlo mě to před usnutím.
Moc díky za pomoc, dám vědět, jestli jsem to zkonstruovala.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2007 21:07

Osová souměrnost

#2 11. 11. 2007 21:30

Re: Osová souměrnost

#3 11. 11. 2007 21:43

Re: Osová souměrnost

#4 11. 11. 2007 23:20

Re: Osová souměrnost

#5 12. 11. 2007 06:35

Re: Osová souměrnost

#6 13. 11. 2007 10:34

Re: Osová souměrnost

Zápatí