Matematické Fórum

Dobrý večer,
můžete mi, prosím, pomoci s následujícími příklady:

1. Určete samodružné body afinního zobrazení roviny   do sebe a invariantní 1-směry asociovaného endomorfismu zaměření roviny , jestliže vzhledem ke zvolenému afinnímu repéru roviny je P=[0,0], Q=[1,0], R=[0,1], a f(P)=P, f(Q)=R, f(R)=Q.

Problém: invariantní 1-směry asociovaného endomorfismu zaměření roviny jsou krásným zaklínadlem, ale co to vlastně "lidsky" vyjadřuje a jak se dají vypočítat? charakteristické číslo umím vypočítat, je +-1, ale další kroky jsou mi záhadou.

2. Určete rovnice samodružného afinního zobrazení   prostoru do sebe, je-li bod P=[1,0,2] samodružný s asociovaným endomorfismem zaměření roviny má invariantní 1-směr [(1,0,0)], charakteristické číslo 2, má invariantní 1-směr [(0,1,2)], charakteristické číslo 2, a invariantní 1-směr s charakteristickým číslem -1.

Problém: jako v předchozím případě, vůbec nemám ponětí, co se po mě chce. Myslím, že s tímto se straší malé děti na Halloween.

3. Určete rovnice afinity roviny , která má bodově samodružnou souřadnicovou osu x zvoleného afinního repéru a zobrazuje bod [0,1] na bod [4,2].

Problém: nevím, jak vyjádřit matematicky: " má bodově samodružnou souřadnicovou osu x zvoleného afinního repéru", myslím, si, že body na ose x, tedy [x,0] se zobrazí na [x`,0], jen mi nenaskakuje nápad, jak to zapsat.

4. Afinita roviny je vzhledem ke zvolenému afinnímu repéru zadaná rovnicemi a
.
Určete invariantní 1-směry  asociovaného endomorfismu zaměření roviny . Určete o jakou afinitu jde.
Problém: zaklínadlo existuje nejen v bodech, ale i v rovinách....

5. V rovině jsou dány přímky p=x+y-1, q=x-y-3=0, p'=x-2y+1=0, q'=2x+y+1. Určete rovnice afinního zobrazení f do sebe, jestliže [1;-1]=f([0,0]) a přímka p se zobrazuje na p' a q se zobrazuje na q'.
Problém: je správný postup s třemi body, jeden [0,0], druhý prusečík p,q a třetí libovolný na p, nebo q?