Matematické Fórum

alex.pur · 04. 11. 2012 11:18

Ahojte,

nevedel by mi niekto prosim poradit s tymto prikladem:
Najděte čtvercovou matici $A \text{ sa nerovná }I_{3}$ řádu 3 nad tělesem reálných čísel
takovou, že $A^{113}=I_{3}$ .

Skúšal som Wolfram Alpha, ale mal problémy už pri 20- násobku matice. Zatial sme nepreberali determinanty, takze sa to asi bude dat riesit aj bez nich.

Vopred dakujem.

vanok · 04. 11. 2012 12:32

Ahoj ↑ alex.pur:,

Mysli na maticu vhodnej rotacie.

alex.pur · 04. 11. 2012 16:13

matici otoceni znam. Cize musim najit nejaky uhel alfa pro ktery bude 113 mocnina matice rovna jednotkove matici. Jen nemohu najit souvislost mezi mocnitelem matice a uhlem alfa. :)

vanok · 04. 11. 2012 16:21 — Editoval vanok (04. 11. 2012 16:22)

Uhoj ma mieru, napr $\theta = \frac {2\pi}{113}$
Matica rotacia (otocenia) ma vlasnosti ...a mozes aj geometricky ich ukazat ( stredna skola)

Inac mozes pracovat aj formalne na matici a jej mocninach ( trochu trigonometrie staci)

Ak toto ti nestaci pouzi google ... iste je tam nieco.

alex.pur · 05. 11. 2012 08:52

Uz tomu rozumiem. Dakujem velmi pekne. Geometricky dokaz som uz zvladol, ide o skladanie rotacie. Je jedno ci to otocime o alfa alebo nkrat o alfa/n.
Pri aritmetickom dokaze som zvladol umocnit maticu rotacie na druhu. Este mi nie je jasne ako to spravit pre n alebo 113.

Diki

Brano · 05. 11. 2012 12:16 — Editoval Brano (05. 11. 2012 12:23)

Pointa je v tomto. Ak $J(\alpha)$ je matica otocenie o uhol $\alpha$ (trebars okolo osi $x$ ) tak dokaz, ze $J(\alpha)J(\beta)=J(\alpha+\beta)$ pre lubovolne $\alpha,\beta$ potom celociselne mocniny zvladnes indukciou ... $J((n-1)\alpha)J(\alpha)=J(n\alpha)$ .

vanok · 05. 11. 2012 13:09

↑ alex.pur:,
Poznamky a doplnky:
Pripominam, vseobecne, ze rotacia definovana v Euklidovskom vektorovom priestore z dim 2, je urcena jej uhlom, miery $\alpha$ a jej matica v jednej ortonormalnej priamo orientovanej baze $(\vec i;\vec j)$ je:

$\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$ .

Toto sa da adaptovat aj v dim 3, ( z ortonormalnou priamo orientovanou baze $(\vec i;\vec j; \vec k)$ napr. pre rotacie okolo vectorovej priamky generovanej $\vec k$ . )
Ktorej matica je:..........(dopln)

V tojom cviceni, si uvedom, ze matica, co som navrhoj uvazovat je ta rotacie uhla (miery) $\theta$
a ked ju aplikujes 113 x dostanej identitu ( ktorej matica je jednodkova matica)

Ak dokazes vzorec ako ti radi kolega ↑ Brano:, mozes pisat

$A^{113}=I_{3}$ .
(geometricky: aplikujes 113 x rotaciu, a tak dostanej identitu,ktorej matica je jednodkova matica $I_3$ )

Otazka, takyto vzorec ste uz nedokazali na cviceniach?