Matematické Fórum

JohnPeca18

Potrebujem spocitat limitu, teda viem vysledok ale neviem ako sa k nemu dostat.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … o+infinity

$\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(n+1)}{n+1-(n+1)^{1-\frac{1}{n}}}=1$

Napada vas neco?

Brano · 05. 11. 2012 21:45

Navrhujem substituciu $y=\frac{\ln(n+1)}{n}$ . Az na nejaky faktor $\frac{n}{n+1}$ to pekne prejde na $\lim_{y\to 0}\frac{ye^y}{e^y-1}$ a potom L'Hopital a je hotovo.

JohnPeca18 · 05. 11. 2012 22:14

↑ Brano:
Diky, nerozumiem celkom ale ako tam napasovat tu substituciu, ako si vyjadrim n?

Brano · 05. 11. 2012 23:56

↑ JohnPeca18:
Pravda, takto to vidiet dost tazko. Ja som najprv urobil $x=ln(n+1)$ upravil a potom $y=\frac{x}{e^x-1}$ , len tam ostalo $\frac{e^x-1}{e^x}$ , ale to je 1.

JohnPeca18

↑ Brano:
Tak vratil som sa k tomuto prikladu, poprosil by som o skontrolovanie.
Moze to byt takto?
$x=\ln (n+1)$
$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x(1-e^{x(\frac{e^x-2}{e^x-1}-1)})}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x(1-e^{\frac{-x}{e^x-1}})}$
Potom pre $y=\frac{x}{e^x-1}$
to je
$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x-1}{e^x}\lim_{y\to0}\frac{y}{1-e^{-y}}=\lim_{y\to0}\frac{1}{e^{-y}}=1$

Brano · 07. 11. 2012 23:10

↑ JohnPeca18:
podla mna OK

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2012 21:04 — Editoval JohnPeca18 (05. 11. 2012 21:04)

Limita

#2 05. 11. 2012 21:45

Re: Limita

#3 05. 11. 2012 22:14

Re: Limita

#4 05. 11. 2012 23:56

Re: Limita

#5 07. 11. 2012 14:38 — Editoval JohnPeca18 (07. 11. 2012 14:45)

Re: Limita

#6 07. 11. 2012 23:10

Re: Limita

Zápatí