Matematické Fórum

mulder · 08. 11. 2012 11:15 — Editoval mulder (08. 11. 2012 12:04)

Vyšetřete průnik kružnice k s polopřímkou $\vec{AB}$ . k: $x^{2}+y^{2}-6x-6y-7=0$ , A[1;0], B[-3;4]. Vyřešil jsem jen střed kružnice, že je S[3;3] a normálový vektor polopřímky $\vec{AB}(-4;-4)$ . Napsal jsem obecnou rovnici přímky $-4x-4y+c=0$ a dál už nevím jak vyjádřím hodnotu c. Pak už bych si snad poradil, že musím z obecné rovnice přímky vyjádřit jednu neznámou a dosadím do druhé. Poté dostanu body jednotlivých průniků.

nejsem_tonda · 08. 11. 2012 12:03

↑ mulder:
Muzeme pocitat prusecik prislusne primky a kruznice a potom se podivat, zda jsou pruseciky na "spravne strane od bodu A". Materialy k pochopeni jsou napriklad tady. Jeste posilam odkaz na vice materialu k primkam a kruznicim, kdyby bylo potreba.

MightyPork · 08. 11. 2012 14:50

↑ mulder:

C v obecné rovnici přímky spočítáš tak, že za x a y dosadíš souřednice jednoho z bodů, třeba A[1; 0]:

$-4x - 4y + c = 0$

$-4 + c = 0$

$c = 4$

přímka je tedy:

$-4x-4y+4=0$

po vydělení 4:

$-x - y + 1 = 0$

Pak bych asi spočítal průnik přímky a kružnice, a jak píše nejsem_tonda, vybral ten správný bod.

mulder · 08. 11. 2012 14:54

↑ MightyPork: Tak to bude asi tak, že z rovnice přímky třeba si vyjádřím y=1-x a dosadím do rovnice kružnice a tím zjistím zda je tam nějaké průsečík.

MightyPork · 08. 11. 2012 15:30

↑ mulder: jj, přesně tak dostaneš průsečíky.

mulder · 08. 11. 2012 19:02

↑ MightyPork:Vyšly mi průsečíky dva a to $P_{1}[-2;3], P_{2}[3;-2]$ Je to správně.

jelena · 09. 11. 2012 11:02

↑ mulder:

Zdravím,

pokud konstatuješ, že je to správně, potom můžeš téma označit za vyřešené (zbytek témat také). Ověřit správnost výpočtu lze dosazením souřadnic bodů do původní rovnice kružnice. V zadání je polopřímka (ne přímka), pro jistotu bych ověřila, zda oba body (nebo jen jeden?) patří také polopřímce.

Rumburak · 09. 11. 2012 11:29

Úlohy na průsečíky s polopřímkami bývá výhodné řešit přes jejich parametrické vyjádření, které u polopřímky AB je (např.)

X = A + t (B-A) , t >= 0 ,

takže z podmínky t >= 0 je ihned jasné, zda nalezená hodnota tohoto parametru skutečně odpovídá bodu na té polopřímce
a ne na polopřímce opačné.

mulder · 09. 11. 2012 12:04

↑ jelena:Když mi řekneš kde se provede, že je téma vyřešené, tak to provedu.

jelena · 09. 11. 2012 12:22

↑ mulder:

proveď v 1. příspěvku tématu :-) je to napsáno v pravidlech a v Manuálu.

↑ Rumburak:

děkuji, to bude určitě rychlejší, než zakreslovat body A, B a nalezené průsečíky. A pozdrav :-)

mulder · 09. 11. 2012 13:02

↑ jelena:Já nevím jestli je to správně. Zapomněl jsem tam dát otazník.

Honzc · 09. 11. 2012 13:57

↑ mulder:
Řešení $P_{1}[-2;3],P_{2}[3;-2]$ není správné (to jestli jsou body P1,P2 spočítány správně jsem nekontroloval)
Ovšem ty máš polopřímku $\vec{AB}$ , ta tedy začíná v bodě A a pokračuje přes bod B do nekonečna.(nebo mínus nekonečna, to je jedno) Protože x-vá souřadnice bodu B je menší než x-ová souřadnice bodu A, pak za výsledek můžeš brát pouze takový bod, jehož x-ová souřadnice je menší (nebo rovna) x-vé souřadnici bodu A. A protože x-vá souřadnice bodu P2 tuto podmínku nesplňuje, pak ani bod P2 není řešením úlohy. Stačí si to namalovat

mulder · 09. 11. 2012 14:12

mulder napsal(a):
Vyšetřete průnik kružnice k s polopřímkou $\vec{AB}$ . k: $x^{2}+y^{2}-6x-6y-7=0$ , A[1;0], B[-3;-4]. Vyřešil jsem jen střed kružnice, že je S[3;3] a normálový vektor polopřímky $\vec{AB}(-4;-4)$ . Napsal jsem obecnou rovnici přímky $-4x-4y+c=0$ a dál už nevím jak vyjádřím hodnotu c. Pak už bych si snad poradil, že musím z obecné rovnice přímky vyjádřit jednu neznámou a dosadím do druhé. Poté dostanu body jednotlivých průniků.

mulder · 09. 11. 2012 14:19 — Editoval mulder (09. 11. 2012 14:33)

↑ Honzc:Když si to člověk namaluje, tak zjistí, že bod je jenom jeden a bude mít alespoň jednu zápornou hodnotu. Parametrické vyjádření polopřímky je $x=1-4t, y=-4t$ a toto jsem vložil do rovnice kružnice. Vyjádřil jsem si hodnotu $t=\frac{3}{10}$ a potom vyšel průsečík $P[\frac{-1}{5};\frac{-6}{5}]$ a to snad už bude dobře.

Rumburak

↑ mulder:

Mně vyšlo t = 1/4 , ale také dělám chyby .

mulder · 09. 11. 2012 17:56

↑ Rumburak:Teď jsem to počítal znova a vyšli mi dvě hodnoty t a to $t_{1}=-\frac{1}{2},t_{2}=-\frac{3}{4}$ ale podle nakreslení je jen jeden průnik.

mulder · 09. 11. 2012 17:59

↑ Rumburak:Ale asi ta 1/4 je dobře. Když si to člověk nakreslí podle měřítka, tak jde vidět, že průnik je v bodě 0;1

mulder · 13. 11. 2012 07:54

↑ Rumburak:Můžeš prosím napsat postup jak si došel k hodnotě 1/4. Pořád mi to nevychází. Děkuji

Rumburak

↑ mulder:

Přepočítal jsem to a pro polopřímku o par. rovnicích $x = 1 - 4t , y = 4t, t \ge 0$ mi nyní vyšlo $t = \frac{3}{4}$ .

Předtím jsem pracoval s rovnicemi $x = 1 - 4t , y = -4t, t \ge 0$ , které byly ovšem chybné.

mulder · 13. 11. 2012 18:23

Vsak vzorec y=-4t je spravne kdyz normalovy vektor AB je roven (-4;-4) nebo i to je spatne?

Rumburak · 14. 11. 2012 09:40

U parametrických rovnic nepracujeme s normálovým vektorem, ale se směrovým.
Máme A[1;0], B[-3;4] , takŽe B - A = (-3 - 1, 4 - 0) = (-4, 4) .

mulder · 14. 11. 2012 11:28

↑ Rumburak:V zadání je chyba. U bodu B [-3;-4]. Toto je správně. Oprava je napsána dne 9.11 ve 14:12. Za to se moc omlouvám. Když si to člověk nakreslí, tak vyjde jen jeden průsečík a to v bodě 0;-1. Při tomto bodu musí vyjít hodnota t=1/4, aby to byla pravda, ale nemohu se dopočítat ke správnému výsledku.

Cheop · 14. 11. 2012 11:34

mulder napsal(a):
↑ MightyPork:Vyšly mi průsečíky dva a to $P_{1}[-2;3], P_{2}[3;-2]$ Je to správně.

Ano toto je správně
Hledaný průsečík bude odpovídat průsečíku P_1
A už nic jiného nepotřebuješ řešit

mulder · 14. 11. 2012 11:52

↑ Cheop:To co tu píšeš je podle mě špatně. V parametrické rovnici polopřímky, musí být parametr $t\in \langle0;\infty \rangle$ a to ani jeden průsečík nesplňuje. Toto už mi jeden napsal. Polopřímka začíná v bodě A a jde do mínus nekonečna a střed kružnice mi vyšel S[3;3] a poloměr 5. Pokud je to správně co jsi napsal, tak zkus tady napsat celý postup příkladu. Už u toho sedím třetí den a nevím si s tím rady.

Honzc · 14. 11. 2012 12:25

↑ mulder:
Už jsem ti psal v příspěvku #12, jak zjistíš, že bod $P_2[3,-2]$ mení řešením, protože neleží na polopřímce $\vec{AB}$
Vžyť je to jednoduché: neleží na ní proto, že polopřímka $\vec{AB}$ je definována pouze pro $x\in (-\infty ,1)$ a x-vá souřadnice bodu $P_2[3,-2]$ v tomto intrvalu neleží.
viz.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2012 11:15 — Editoval mulder (08. 11. 2012 12:04)

Průnik kružnice s polopřímkou

#2 08. 11. 2012 12:03

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#3 08. 11. 2012 14:50

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#4 08. 11. 2012 14:54

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#5 08. 11. 2012 15:30

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#6 08. 11. 2012 19:02

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#7 09. 11. 2012 11:02

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#8 09. 11. 2012 11:29

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#9 09. 11. 2012 12:04

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#10 09. 11. 2012 12:22

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#11 09. 11. 2012 13:02

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#12 09. 11. 2012 13:57

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#13 09. 11. 2012 14:12

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

mulder napsal(a):

#14 09. 11. 2012 14:19 — Editoval mulder (09. 11. 2012 14:33)

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#15 09. 11. 2012 15:46 — Editoval Rumburak (09. 11. 2012 16:14)

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#16 09. 11. 2012 17:56

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#17 09. 11. 2012 17:59

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#18 13. 11. 2012 07:54

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#19 13. 11. 2012 15:49 — Editoval Rumburak (13. 11. 2012 15:53)

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#20 13. 11. 2012 18:23

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#21 14. 11. 2012 09:40

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#22 14. 11. 2012 11:28

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#23 14. 11. 2012 11:34

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

mulder napsal(a):

#24 14. 11. 2012 11:52

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

#25 14. 11. 2012 12:25

Re: Průnik kružnice s polopřímkou

Zápatí