Matematické Fórum

abak · 09. 11. 2012 19:32

Mám rozložit zadané reálné polynomy f1, f2 a f3 v reálném oboru, jako součin ireducibilních polynomů. Ze zadaných polynomů je zřejmé, že nemohu využít Hornerovo schéma, volím pro jednotlivé polynomy následující postup:

$f_{1}:y=x^{4}+4x^{2}+3 = (x^{2}+\sqrt{3})^{2}-x^{2}(2 \sqrt{3}-4)=(x^{2}+x(2 \sqrt{3}-4)+\sqrt{3})(x^{2}-x(2 \sqrt{3}-4)+\sqrt{3})$
$f_{2}:y=x^{4}+1 = (x^{2}+1)^{2}-2x^{2}=(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)$
$f_{3}:y=x^{4}+x^{2}+3 =(x^{2}+\sqrt{3})^{2}-x^{2}(2 \sqrt{3}-1)=(x^{2}+x(2 \sqrt{3}-1)+\sqrt{3})(x^{2}-x(2 \sqrt{3}-1)+\sqrt{3})$

Lze takový postup považovat za správný a je výsledný součin polynomů ireducibilní?

jelena · 09. 11. 2012 20:20

Zdravím,

první se mi nezdá, zkus tuto úpravu $f_{1}:y=x^{4}+4x^{2}+3 = x^{4}+x^2+3x^2+3=\ldots$

druhý také ne $f_{2}:y=x^{4}+1 = (x^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}x)^{2}=\ldost$

třetí bych zkusila $f_{3}:y=$x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}$+\frac{11}{4}$ , ale momentálně rozklad nevidím.

jelena · 09. 11. 2012 20:30

Třetí polynom kompletně je rozebrán od kolegy vanka ve vzorových. Děkuji autorovi.

abak · 09. 11. 2012 21:39 — Editoval abak (09. 11. 2012 21:56)

Mnohokrát vám děkuji za pomoc, pokusím se napsat opravený postup, pro přehlednost jej ještě rozepíšu, aby bylo vidět, kde se stala chyba.

$f_{1}:y=x^{4}+4x^{2}+3 =(x^{2}+\sqrt{3})^{2} -x^{2}(2 \sqrt{3}-4)=(x^{2}+\sqrt{3})^{2}-(x\sqrt{2 \sqrt{3}-4})^{2}=$
$=(x^{2}+x\sqrt{2 \sqrt{3}-4}+\sqrt{3})(x^{2}-x\sqrt{2 \sqrt{3}-4}+\sqrt{3})$

$f_{2}:y=x^{4}+1 = (x^{2}+1)^{2}-2x^{2} =(x^{2}+1)^{2}-(x\sqrt{2})^{2}=$
$=(x^{2}+x\sqrt{2}+1)(x^{2}-x\sqrt{2}+1)$

$f_{3}:y=x^{4}+x^{2}+3 = (x^{2}+\sqrt{3})^{2} -x^{2}(2 \sqrt{3}-1)=$
$=(x^{2}+\sqrt{3})^{2}-(x\sqrt{2 \sqrt{3}-1})^{2}=(x^{2}+x\sqrt{2 \sqrt{3}-1}+\sqrt{3})(x^{2}-x\sqrt{2 \sqrt{3}-1}+\sqrt{3})$

Vycházel jsem pouze ze základních vzorců:
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Doufám, že teď už jsou úpravy v pořádku a mohu prohlásit všechny součiny polynomů za ireducibilní.

Prosím o zpětnou kontrolu, ať mohu označit téma za vyřešené. Děkuji.

jelena · 09. 11. 2012 22:27

Jedničku jsem navrhovala tak:
$f_{1}:y=x^{4}+4x^{2}+3 = x^{4}+x^2+3x^2+3=x^2(x^2+1)+3(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+3)$

2] souhlasím,

3) dle kolegy vanek.

abak · 09. 11. 2012 22:58 — Editoval abak (09. 11. 2012 22:59)

↑ jelena:

1) Díky za vysvětlení, to je naprosto bravurní a elegantní, teď už tomu rozumím. Vzhledem k tomu, že sedí zkouška u mého postupu, neodpustím si dotaz pramenicí z mé vlastní neznalosti. Lze tedy za správné považovat oba postupy i oba výsledné rozklady polynomu?

2) V pořádku.

3) V pořádku.

jelena · 09. 11. 2012 23:11

↑ abak:

1) ale no, to je zkušenost ze ZŠ :-)

Vážně - jak ukázal kolega vanok ve vzorovém příkladů - jeho metoda je v těchto případech univerzální. Tedy pokud jsi použil jeho postup (nebo principiálně obdobný), tak v pořádku, samozřejmě.

abak · 10. 11. 2012 00:19

↑ jelena:
Ještě jednou díky za vaši ochotu a trpělivost. Při studiu matematiky na VŠ jsou chvíle, a především lidé, kteří některé studenty dokáží velmi rychle přesvědčit, že si nevzpomenou a nejsou si zcela jistí ani tím, jak se jmenují, proto stačí přidat několik nových pojmů o polynomiální ireducibilitě, či obecném zápisu kořenových činitelů a z do té doby poměrně dobře chápané problematiky je najednou naprostý zmatek.

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2012 19:32

Rozklad polynomu

#2 09. 11. 2012 20:20

Re: Rozklad polynomu

#3 09. 11. 2012 20:30

Re: Rozklad polynomu

#4 09. 11. 2012 21:39 — Editoval abak (09. 11. 2012 21:56)

Re: Rozklad polynomu

#5 09. 11. 2012 22:27

Re: Rozklad polynomu

#6 09. 11. 2012 22:58 — Editoval abak (09. 11. 2012 22:59)

Re: Rozklad polynomu

#7 09. 11. 2012 23:11

Re: Rozklad polynomu

#8 10. 11. 2012 00:19

Re: Rozklad polynomu

Zápatí