Matematické Fórum

gisat · 01. 12. 2008 20:20

Ahoj poradil by někdo i spostupem řešení tyto integrály?

Mockrát prosím o radu i s postupem řešení.
Díky předem za radu

lukaszh · 01. 12. 2008 21:00

↑ gisat:
1. per partes a potom vhodná substitúcia
2. roznásobiť a integrovať po zložkách
$\int x$\sqrt{x}-1$\,\text{d}x=\int\sqrt{x^3}\,\text{d}x-\int x\,\text{d}x$
3.
$\int\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,\text{d}x=2\sqrt{x}\sin\sqrt{x}-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\cos\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}\,\text{d}x=2\sqrt{x}\sin\sqrt{x}-\int\cos\sqrt{x}\,\text{d}x=\cdots$
pokračuješ substitúciou

kaja.marik

ad 3: lepsi je udelat rovnou substituci

ad 4: je to integral ze sin(2x), takze substituce 2x=t

gisat · 01. 12. 2008 23:07

kaja.marik napsal(a):
ad 3: lepsi je udelat rovnou substituci

ad 4: je to integral ze sin(2x), takze substituce 2x=t

Ahoj mo
hl b ys ty příklady popsat i s postupem a řešením, abych se to mohl pořádně naučit?

lukaszh · 01. 12. 2008 23:46

↑ gisat:
1. príklad
$E=\int(2x+1)\cos\pi x\,\text{d}x=\int(2x\cos\pi x+\cos\pi x)\,\text{d}x=\underbrace{2\int x\cos\pi x\,\text{d}x}_{I_1}+\underbrace{\int\cos\pi x\,\text{d}x}_{I_2}$
Riešim postupne, naprv prvý, potom druhý integrál:

Výsledný integrál je súčtom predchádzajúcich dvoch:
$E=\frac{2x\sin\pi x}{\pi}+\frac{2\cos\pi x}{\pi^2}+\frac{\sin\pi x}{\pi}$
2. príklad
$\int x(\sqrt{x}-1)\,\text{d}x=\int x\sqrt{x}\,\text{d}x-\int x\,\text{d}x=\int\sqrt{x^3}\,\text{d}x-\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}-\frac{1}{2}x^2=\boxed{\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{2}x^2}$

Dal som ti návod, a ostatné sa riešia rovnakým spôsobom, len ti napíšem, čo ti poradil ↑ kaja.marik::
3. príklad

4. príklad

5. príklad - rozklad na parciálne zlomky

ttopi · 02. 12. 2008 08:32

Tu 5. si z cvičných důvodů zkusím já:-)

$\frac{2x^2+3x+18}{x(x^2+9)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+9}\nl 2x^2+3x+18=A(x^2+9)+Bx^2+Cx\nl \underline{x=0}:\ 18=9A\ \rightarrow A=2\nl \underline{koef.\ u\ x^2}:\ 2=A+B\ \rightarrow B=0\nl \underline{koef.\ u\ x}:\ 3=C$

A tedy řeším integrál:
$\int\frac{2}{x}\ dx\ +\ \int\frac{3}{x^2+9}\ dx$

$\int\frac{2}{x}\ dx=2\ln x$
a
$\int\frac{3}{x^2+9}\ dx\nl x=3t\nldx=3\ dt\nl 9\int\frac{dt}{9t^2+9}=9\int\frac{dt}{9(t^2+1)}=\arctan(t)=\arctan(\frac{x}{3})$

Celkem tedy $\int\frac{2x^2+3x+18}{x(x^2+9)}\ dx=2\ln |x|+\arctan(\frac{x}{3})+C$

O.o · 02. 12. 2008 16:32

↑ ttopi:

Ahoj :),

můžu se jen z cvičných důvodů zeptat, jak poznám, že mám do čitatele toho jednoho parciálního zlomku dávat Bx+C? Tak nějak jsem to úplně přesně nepochytil ve škole..

Díky moc ;)

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2008 20:20

Integrály podruhé

#2 01. 12. 2008 21:00

Re: Integrály podruhé

#3 01. 12. 2008 22:30 — Editoval kaja.marik (01. 12. 2008 22:32)

Re: Integrály podruhé

#4 01. 12. 2008 23:07

Re: Integrály podruhé

kaja.marik napsal(a):

#5 01. 12. 2008 23:46

Re: Integrály podruhé

#6 02. 12. 2008 08:32

Re: Integrály podruhé

#7 02. 12. 2008 16:32

Re: Integrály podruhé

Zápatí