Matematické Fórum

drabi · 12. 11. 2012 22:38 — Editoval drabi (12. 11. 2012 22:38)

Ahoj,
zabývám se teď důkazem zostření Čebyševovy nerovnosti (podle návodu z Craméra - Mathematical Methods of Statistics),
ale nějak tomu nemůžu přijít na kloub. Pomohl by mi s tím prosím někdo?

Mám dokázat, že je-li $X$ unimodální náhodná veličina spojitého typu, pak $\forall k>0$ platí
$P(|X - x_0| \ge k \tau) \le \frac{4}{9 k^2}$ , kde $x_0$ je modus $X$ , $\tau = \sigma^2 + (x_0 - \mu)^2$

A ten důkaz vychází z těchto poznatků:
1.) $g(x)$ nerostoucí pro $x>0$ , pak $\forall k>0$ platí $k^2 \int_{k}^\infty g(x) \mathrm{d}x \le \frac49 \int_{0}^\infty x^2 g(x) \mathrm{d}x$
2.) speciální případ, kdy $g(x)$ je konstantní pro $0<x<c$ a nulová pro $x>c$
pak se definuje funkce $h(x)$ , která se rovna g(k), pro $0< x <k+a$ a rovna 0 pro $x>k+a$ ,
kde $a$ je určena vztahem $a g(k) = \int_{k}^\infty g(x) \mathrm{d}x$
3.) $k^2 \int_{k}^\infty g(x) \mathrm{d}x = k^2 \int_{k}^\infty h(x) \mathrm{d}x \le \frac49 \int_{0}^\infty x^2 h(x) \mathrm{d}x \le \frac49 \int_{0}^\infty x^2 g(x) \mathrm{d}x$

Mohl by to prosím se mnou někdo projít a pomoct mi pochopit jednotlivé kroky? Díky:)

drabi · 10. 12. 2012 22:17 — Editoval drabi (10. 12. 2012 22:30)

Ahoj,
po nějaké době se vracím k tomuto tématu. Bohužel jsem to cvičení z Craméra nepochopila správně, ale teď už jsem na správné cestě.

Když si nakreslím ty funkce $g$ (nerostoucí na $(0,\infty)$ ) a $h$ ( na $(0,k)$ je to $g(k)$ , na $(k, \infty)$ je to $0$ ), tak to bude vypadat takto

Vím, že $a g(k) = \int_k^\infty g(x) \mathrm{d}x$
a pak mám dokázáno toto:

$k^2 \int_k^\infty g(x)\mathrm{d}x = k^2 \int_k^\infty h(x)\mathrm{d}x \le \frac49 \int_0^\infty x^2 h(x)\mathrm{d}x$

a teď chci dokázat, že
$\frac49 \int_0^\infty x^2 h(x)\mathrm{d}x \le \frac49 \int_0^\infty x^2 g(x)\mathrm{d}x$

Chtěla bych to dokázat přes rovnost těchto integrálů:
$\int_k^\infty g(x)\mathrm{d}x = \int_k^\infty h(x)\mathrm{d}x$

pokud platí, že
$\int_k^\infty x^2 g(x)\mathrm{d}x = \int_k^\infty x^2 h(x)\mathrm{d}x$ , pak je hotovo..
Ale nejsem si jistá, že to opravdu platí a jak to dokázat.
Mohl by mi prosím někdo pomoct?

EDIT: poznámka: na obrázku jsou vyšrafovány části se stejným obsahem

drabi · 16. 12. 2012 18:07

↑ drabi:
tak jsem dokázala, že nerovnost
$\int_k^\infty x^2 g(x)\mathrm{d}x \le \int_k^\infty x^2 h(x)\mathrm{d}x$ neplatí.

Nenapadá vás něco, jak s tím hnout?
Dělala jsem odhady jednotlivých integrálů, ale nikam jsem se nedostala.

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2012 22:38 — Editoval drabi (12. 11. 2012 22:38)

důkaz - Čebyšev

#2 10. 12. 2012 22:17 — Editoval drabi (10. 12. 2012 22:30)

Re: důkaz - Čebyšev

#3 16. 12. 2012 18:07

Re: důkaz - Čebyšev

Zápatí