Matematické Fórum

Martass

Ahoj!
Potřeboval bych poradit s výpočtem dvou na sobě závislých kružnic resp. nějaký vzorec
Mám dvě kružnice,kde znám jejich průměr D1,D2 ,souřadnice X,Y kružnice D1(např.0,0) a pouze jednu souřadnici X1 nebo Y1 kružnice D2,která se vždy mění.
A potřebuji znát zbývající neznámou souřadnici X1 nebo Y1 kružnice D2 v místě kde se obě kružnice dotýkají

Snad jsem to popsal trochu srozumitelně.Žádné řešení mne nenapadá.Ze školy jsem už hóóódně dlouho.
Děkuji

BakyX · 13. 11. 2012 11:04

Ahoj.

"souřadnice X,Y kružnice D1(např.0,0)"

Tým myslíš súradnice stredu tej kružnice ?

jelena · 13. 11. 2012 11:10

↑ BakyX:

Zdravím,

řekla bych, že bez ohledu na polohu kružnic (tedy umístění středů v souřadnicích), půjde použit podobnost trojúhelníků ze znalosti jedné souřadnice společného bodu (jelikož (R+r)/R se zachovává). Tak? Děkuji.

Martass · 13. 11. 2012 12:06

Ahoj!
Ano,souřadnice 0,0 kružnice D1 je opravdu střed té kružnice D1.
Víceméně v praxi to bude fungovat tak,že polohu bude měnit pouze kružnice D2.
Ale potřebuji aby když zadám posun kružnice D2 dejme tomu v ose Y,jsem získal souřadnici X
té kružnice D2,tak že se kružnice vzájemně dotýkají(nesmí být ani vně,ani uvnitř kružnice D1)

Omlouvám se,snad jsem to vysvětlil už lépe.
Zkouším se toho nějak dopídit právě přes goniometrii,ale hlava nebere,pořád mi tam něco chybí......?

jelena · 13. 11. 2012 12:16

↑ Martass:

děkuji za upřesnění. Pokud má být zachován pouze jeden společný bod kružnic, potom menší kružnice (D2) se jen otáčí okolo větší tak, že střed kružnice D2 opisuje kružnici se středem X0, Y0 a poloměrem R1+R2.

Předpokládáte jen takový pohyb? Děkuji.

Martass

Ano,dá se to tak říci(resp.napsat) je to asi takto přesněji popsané,děkuji.
Při zapisování hodnot budu znát pouze průměry těch dvou kružnic a pouze jednu souřadnici kružnice D2,ať už X1 nebo Y1 a střed kružnice D1.

jelena · 13. 11. 2012 12:35

↑ Martass:.

V tomto případě není podstatné, jak je velká kružnice D2, pouze budete dosazovat Y1 (nebo X1) do rovnice kružnice D1 (poloměr R1):

$(X_1-x_0)^2+(Y_1-y_0)^2=R_1^2$

Vyznáte se tak?

Martass · 13. 11. 2012 12:50

↑ jelena:
Omlovám se šlo by to více polopatě....
Předpokládám,že x0 y0 ve vzorci je asi osa(střed) D1,že?
Dejme tomu že D1 = 100(i když není podstatná) D2=40 a Y1=35
Otááázka zní kolik bude X1=?

jelena · 13. 11. 2012 12:50

ještě doplním,

z řešení ↑ příspěvku 7: dostanete 2 výsledky, bude třeba porovnat s polohou středu kružnice D2, aby střed D1, vypočtený bod doteku a střed D2 byly ve stejný okamžik na jedné přímce. Jak budete ovládat kružnici D2? Děkuji.

jelena · 13. 11. 2012 12:50

ještě doplním,

z řešení ↑ příspěvku 7: dostanete 2 výsledky, bude třeba porovnat s polohou středu kružnice D2, aby střed D1, vypočtený bod doteku a střed D2 byly ve stejný okamžik na jedné přímce. Jak budete ovládat kružnici D2? Děkuji.

Martass

↑ jelena:
Aha!
Jste byla ještě rychlejší než já,viz příspěvek nad Vaším.
Jestli dobře chápu Váš dodatek,no tak pokud bude kružnice D1 jinde než na 0,0 ,tak pouze připočtu
k souřadnicím kružnice D2 ,souřadnice D1..?

jelena · 13. 11. 2012 13:19

↑ Martass:

dokončila bych to tak: ze zadání středu kružnice D2 vypočtu sklon přímky OS2 $k=\frac{Y_2-Y_0}{X_2-X_0}$ a porovnam se sklony primek z vysledku (zde předpokládám, že jsem našla 2 y-výsledky pro zadané X1): $k_1=\frac{Y_{11}-Y_0}{X_1-X_0}$ a $k_2=\frac{Y_{12}-Y_0}{X_1-X_0}$ , zvolím takové $Y_{11}$ nebo $Y_{12}$ , pro které vychází stejný sklon jako OS2 $k$ .

Totiž, pokud byste popsal způsob pohybu (otočení a jak se dá zaznamenat úhel otočení), možná, že by výpočet vyšel pohodlnější přes goniometrické funkce (kružnice v polárních souřadnicích). Případně doplníme.

Přidáno: pohodlnější bude sestavit postup pro hledání průsečíku přímky S1S2 a kružnice D1 (ale to jsme ze začátku ze zadání přesně nevěděli)

Co jsme to vynalézali za kolo?

---------------------------------------------------------

Jelikož teď asi jsme rozebrali veškeré podklady, potřebné pro úlohu, počkejte si ještě na kolegu ↑ BakyX:, zda nedonese něco elegantního (je rozhodně schopnější a zdatnější matematik).

Martass

↑ jelena:
Tak teď jsem z toho už totálně zmaten,ale problém je na židli u mě.....
Rovnice,rovnice,kde já to byl před 25 léty,vypadá to že ve škole asi néééé.

Co jsme to vynalézali?Nevím jestli to měla být jenom řečnická otázka,nebo k čemu to má sloužit.
Jsem strojař a pokud potřebuji frézovat čelo polotovaru (kružnice D1),frézou (kružnice D2) a potřebuji vytvořit program (souřadnice X,Y) a chci pracovat "efektivně", tak potřebuji znát oné souřadnice, aby nástroj (fréza)
nevykonávali zbytečné příjezdy před polotovar a výjezdy za polotovarem tzn.zadat ideální polohu pro nájezd i výjezd a tudíž zkratit prac.čas.Samozřejmě že ta fréza(D2) jezdí po čele polotovaru cik cak,tudíž těch drah je tam více. Možná to zní jako blbost a zbytečnost,ale není....
Tak a teď jsem připálil řízky!!!!!
Zatím mnohokráte děkuji za ochotu

Snad to bude z obrázku jasnější

jelena · 13. 11. 2012 15:25

↑ Martass:

děkuji za další upřesnění. Určitě to nebyla řečnická otázka. Pokud řešíme jen polohu nájezdu, potom můžeme považovat poloměr polotovaru za daný. Při výjezdu - není již polotovar opracován a tedy poloměr se změní?

Pro část nájezdu přepíši dosavadní povídání do jedné rovnice (ale až hodně pozdě večer). Pro část výjezdu - ještě upřesněte, zda je polotovar opracován - snad si tohoto tématu všiml i kolega Honzc.

OT: před časem jsem navrhovala vyčlenit praktické úlohy do samostatné sekce, tady tento návrh zopakuji.

Tak a teď jsem připálil řízky!!!!!

to chce optimalizovat plánování.

kde já to byl před 25 léty,vypadá to že ve škole asi néééé.

já jsem byla na MD a věnovala jsem se výchově dnes již hotové strojářky :-)

Martass · 13. 11. 2012 18:01

↑ jelena:
Ano budu muset lépe plánovat,ty řízky jsem nezvládl!!!
No vidíte jak se Vám dnes hodí,že jste se věnovala dcéři- strojařce

Jinak asi je potřeba řešit opravdu pouze polohu nájezdu,protože výjezd lze už snadno dopočítat z toho nájezdu.
Polotovar průměr ani polohu měnit nebude.
Ano, tohle je opravdu spíše praktická úloha ze "života",ale kam ji začlenit si jaksi nedovolím posuzovat,to nechám na Vás tady zběhlejších.
Přikládám v odkazu jenom kousek ukázky z mého programu,jenom aby jste si nemysleli,že si výmýšlím něco zbytečného,snažím se většinu věcí co dělám uvést pokud možno do praxe....
V ukázce je pravoúhlý polotovar tam je to snadné,ale kruhový ten mě už potrápil!!!

Odkaz

jelena · 13. 11. 2012 23:32

Nakonec to upravíme tak.

V moment kontaktu kružnic máte pevně zafixovanou kružnici polotovaru D1 se středem $[0,\, 0]$ a potřebujete, aby k bodu na kružnici $[X_1,\, Y_1]$ dojela kružnice frézy D2, v okamžiku dojezdu znáte souřadnice středu frézy $[X_2,\, Y_2]$
Potom platí pro bod dotyku $[X_1,\, Y_1]$

$(X_1-x_0)^2+(Y_1-y_0)^2=R_1^2$
$(X_1-x_2)^2+(Y_1-y_2)^2=R_2^2$

vynásobím 2. rovnici (-1) a rovnici sečtu:
---------------------------------------------
$2X_1(x_2-x_0)+2Y_1(y_2-y_0)+x_0^2+y_0^2-x_2^2-y_2^2=R_1^2-R_2^2$

Pokud máte zadáno $Y_1$ , potom $X_1$ najdete jako:

$X_1=\frac{R_1^2-R_2^2-2Y_1(y_2-y_0)-x_0^2-y_0^2+x_2^2+y_2^2}{2(x_2-x_0)}$

(přičemž $x_0=0$ , $y_0=0$ )

--------------------------------------------------------------------
Do skrytého textu jsem dala i variantu řešení, pokud nemáme souřadnice středu frézy, ale nějak se mi nepodařila :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

No vidíte jak se Vám dnes hodí,že jste se věnovala dcéři-strojařce

Tak to určitě, vozí mne za kulturou, například, a je ve všech ohledech Hodná dcera, zaklepu velmi.

Martass · 14. 11. 2012 00:04

↑ jelena:
Tak to se opět omlouvám.Asi jsem ve škole chyběl víc než jsem myslel,ale rovnice
nikdy nebyli moje hobby(těch neznámých je tam na mě nějak moc)
Jsem zmaten!!!!!!!! Mám pocit,že chci něco co nedokážu pochopit.....
Šlo by to prosím dosadit do rovnice konkrétně
D1 = 100(R50) stred 0,0
D2 = 40(R20) stred (X1-neznáma) Y1=35

jelena · 14. 11. 2012 00:11

chabí souřadnice středu 2. kružnice (malé):

stred (X1-neznáma) Y1=35 - to je společný bod? ne střed.

$X_1=\frac{50^2-20^2-2\cdot 35(y_2)+x_2^2+y_2^2}{2x_2}$

Pokud malou kružnici nemáte, potom musíme dotrápit postup ve skrytém textu, odkud:

${Y_2}=\frac{(50+20)35}{50}$
${X_2}=\frac{(50+20)X_1}{50}$

Martass · 14. 11. 2012 00:30

↑ jelena:
No právě,souřadnice středu malé kružnice(D2) je známa akorát(např.) Y1 (podle.obr.odkaz#1),X1 neznám a potřebuji dopočítat.Ale do rovnice $X_1=\frac{50^2-20^2-2\cdot 35(y_2)+x_2^2+y_2^2}{2x_2}$
potřebuji dosadit x2 které neznám a v poslední rovnici kde zjistím x2 zase neznám x1???Jsem opět zmaten...

jelena · 14. 11. 2012 00:39

↑ Martass:

mám jiné značení. Vycházela jsem z textu 1. příspěvku:

A potřebuji znát zbývající neznámou souřadnici X1 nebo Y1 kružnice D2 v místě kde se obě kružnice dotýkají

Tedy jsem označila společný bod kružnic X1, Y1 a střed malé kružnice X2, Y2.

Upřesníte, prosím, ještě jednou, co tedy máme:

velká kružnice se středem 0, 0 a poloměrem R1
malá kružnice o poloměru R2, jedna souřadnice středu Y2 (v mém značení).
společný bod kružnic - nemáme nic?

Děkuji.

Martass

↑ jelena:

Teda my máme činnost v tuto hodinu,moc se omlouvám a děkuji za trpělivost...
Ještě jednou jsem něco nakresli,snad to bude jasnější a opět jsem něco nezapoměl

Černě známe hodnoty,červeně ? neznámá a potřebuji znát
Ten společný bod,kde se dotýkají pro mě není důležitý,jen jsem ho uváděl v domění,že je třeba ho znát pro výpočet

jelena · 14. 11. 2012 09:32

↑ Martass:

zůstaneme tedy u ↑ příspěvku 5: a označíme X1, Y1 - souřadnice středu malé kružnice. Pokud Y1 dáno (u Vás Y1=35), potom zadáváte vodorovnou rovinu, ve které bude střed frézy při doteku s polotovarem Od polotovaru může být nalevo a napravo. Proto mám 2 výsledky X1, odsud:

$(X_1-x_0)^2+(Y_1-y_0)^2=(R_1+R_2)^2$ a pro nulovou polohu středu polotovaru potom máme:
$X_1^2+Y_1^2=(R_1+R_2)^2$
$X_{1_{1, 2}}=\pm \sqrt{(R_1+R_2)^2-Y_1^2}$

Třeba v programu ošetřit, z které strany bude startovat fréza a zvolit buď kladnou nebo zápornou hodnotu X1.

Konkretně pro dosazení máme: $X_{1_{1, 2}}=\pm \sqrt{(50+20)^2-35^2}$

Martass · 14. 11. 2012 10:03

↑ jelena:
Téééda,mladá,chytrá paní smekám.ŠIKULKA
Jo,jóóó,takhle jsem si to představoval a funguje to a souhlasí...(snad si nevymyslím něco dalšího)
Sice nechápu jak k tomu člověk může dojít a takovou rovnici sestavit,no ani se raději o to nebudu pokoušet!!!
Mnohokeré díky.Přispěji sms na provoz fóra,Vám bohužel mohu poslat max. internetovou pusu.
Až se mi podaří to zakomponovat do programu,tak mohu event.dát ukázku.
Ještě jednou děkuji,mějte se hezky a ať se Vám i dceři-strojařce daří
Martin

jelena · 14. 11. 2012 13:05

↑ Martass:

:-) děkuji velice za pochvalu a za přaní a za SMS na provoz. Ukázka programu určitě potěší.

Sice nechápu jak k tomu člověk může dojít a takovou rovnici sestavit

to nebylo těžké, stačí pohledat rovnici kružnici, spíš správně rozluštit požadavek. Proto se mi jeví sekce "Úlohy pro praxi" jako užitečná, příležitostně obnovím debatu. Mějte se a ať se vede.

Martass

↑ jelena:

Tak jak jsem slíbil posílám v odkazu dole ukázku toho, jak výsledek vypadá v programu.
Je třeba to trocha doladit,spíše vizuálně,ale s výsledkem jsem max.spokojen.
Ještě jednou Vám velice děkuji za ochotu a trpělivost!!!!
Mějte se hezky.

Odkaz

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2012 02:30 — Editoval Martass (13. 11. 2012 07:59)

Tečna dvou kružnic

#2 13. 11. 2012 11:04

Re: Tečna dvou kružnic

#3 13. 11. 2012 11:10

Re: Tečna dvou kružnic

#4 13. 11. 2012 12:06

Re: Tečna dvou kružnic

#5 13. 11. 2012 12:16

Re: Tečna dvou kružnic

#6 13. 11. 2012 12:24 — Editoval Martass (13. 11. 2012 12:26)

Re: Tečna dvou kružnic

#7 13. 11. 2012 12:35

Re: Tečna dvou kružnic

#8 13. 11. 2012 12:50

Re: Tečna dvou kružnic

#9 13. 11. 2012 12:50

Re: Tečna dvou kružnic

#10 13. 11. 2012 12:50

Re: Tečna dvou kružnic

#11 13. 11. 2012 12:55 — Editoval Martass (13. 11. 2012 12:56)

Re: Tečna dvou kružnic

#12 13. 11. 2012 13:19

Re: Tečna dvou kružnic

#13 13. 11. 2012 13:51 — Editoval Martass (13. 11. 2012 14:06)

Re: Tečna dvou kružnic

#14 13. 11. 2012 15:25

Re: Tečna dvou kružnic

#15 13. 11. 2012 18:01

Re: Tečna dvou kružnic

#16 13. 11. 2012 23:32

Re: Tečna dvou kružnic

#17 14. 11. 2012 00:04

Re: Tečna dvou kružnic

#18 14. 11. 2012 00:11

Re: Tečna dvou kružnic

#19 14. 11. 2012 00:30

Re: Tečna dvou kružnic

#20 14. 11. 2012 00:39

Re: Tečna dvou kružnic

#21 14. 11. 2012 00:56 — Editoval Martass (14. 11. 2012 00:58)

Re: Tečna dvou kružnic

#22 14. 11. 2012 09:32

Re: Tečna dvou kružnic

#23 14. 11. 2012 10:03

Re: Tečna dvou kružnic

#24 14. 11. 2012 13:05

Re: Tečna dvou kružnic

#25 16. 11. 2012 12:54 — Editoval Martass (17. 11. 2012 11:55)

Re: Tečna dvou kružnic

Zápatí