Matematické Fórum

Figa · 14. 11. 2012 11:15

Ahoj jak spočítat tuto jednostrannou limitu? Děkuji.
$\lim_{x\to2+}\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}-4x^{2}+x+6}$

Rumburak · 14. 11. 2012 11:27

Ahoj.

Číslo $x = 2$ je kořenem jmenovatele, takže prním krokem k výpočtu by mohla být úprava

$\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}-4x^{2}+x+6} =\frac{1}{x-2}\cdot \frac{x^{2}+3x-4}{Q(x)}$ ,

kde $Q(x)$ je vhodný kvadratický polynom.

Figa · 14. 11. 2012 14:53

K tomu jsem také došel. Vhodný polynom je $x+5+\frac{6}{x-2}$ a nevím jak dál.

Rumburak

↑ Figa:
Nemyslím si, že toto je správný postup. Šel bych na to následovně:

Zřejmě bude $Q(x) = x^2 + px + q$ , čísla $p, q$ jsou taková, aby pro všechna $x$ platilo

$(x-2)( x^2 + px + q) = x^{3}-4x^{2}+x+6$ ,

to znamená, že roznásobením na levé straně musíme dostat polynom identický (tj. co do koeficinetů) s polynomem na pravé straně.
Vyšlo mi $p = -2, q = -3$ , tj. $Q(x) = x^2 - 2x - 3$ . Snadno zjistíme , že už $Q(2) \ne 0$ , takže funkce
$h(x) := \frac{x^{2}+3x-4}{Q(x)}$ je, jak je zřejmé, spojitá a nenulová v bodě $x = 2$ . Odtud plyne:

$\lim_{x\to2+}\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}-4x^{2}+x+6} = \lim_{x\to2+} \frac{1}{x-2}\cdot \frac{x^{2}+3x-4}{Q(x)}= \lim_{x\to2+} \frac{1}{x-2}\cdot h(x) = h(2)\cdot \lim_{x\to2+} \frac{1}{x-2}$

a dále snad je to už jasné.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2012 11:15

Limita fce

#2 14. 11. 2012 11:27

Re: Limita fce

#3 14. 11. 2012 14:53

Re: Limita fce

#4 14. 11. 2012 16:31 — Editoval Rumburak (14. 11. 2012 16:34)

Re: Limita fce

Zápatí