Matematické Fórum

Zemish · 16. 11. 2012 07:41

Ahoj lidi,

moc jsem ve škole neporozuměl derivaci funkce zadané implicitně rovnicí, jestliže se v ní vyskytují výrazy typu goniometrických funkcí apod. Nevím, zda to pak derivovat jako složenou funkci atd.

Zde mám tři příklady, u kterých mám problém dojít ke správnému řešení!

O výsledky těchto úloh mi ani nejde jako o názorné řešení.

Děkuji ;-)

Arabela

Ahoj ↑ Zemish:,
podľa mňa treba každé $y$ chápať ako funkciu $x$ , takže pri derivovaní pôjde o deriváciu zloženej funkcie.
Príklad 1.
$e^{xy}-x^{2}+y^{2}=0$
Derivujeme ľavú aj pravú stranu a postupne dostávame:
$e^{xy}(1.y+x.y')-2x+2yy'=0$
$e^{xy}.y+e^{xy}.x.y'-2x+2yy'=0$
Teraz členy s y' ponecháme naľavo, ostatné dáme napravo:
$e^{xy}.x.y'+2yy'= 2x-e^{xy}.y$
$y'(x.e^{xy}+2y)=2x-e^{xy}.y$
Napokon
$y'=\frac{2x-e^{xy}.y}{x.e^{xy}+2y}$

Tie ďalšie príklady sa dajú riešiť podobne. Treba rozpísať?

Zemish · 16. 11. 2012 12:31

↑ Arabela: Mohl bych poprosit i o ty další dva příklady. Děkuji ;-)

Arabela · 16. 11. 2012 12:42

↑ Zemish:
ten druhý mi vychádza takto:
$e^{x}-e^{-x}+xy=0$
$e^{x}-e^{-x}.(-1)+1.y+x.y'=0$
$e^{x}+e^{-x}+y+xy'=0$
$xy'=-e^{x}-e^{-x}-y$
$y'=\frac{-e^{x}-e^{-x}-y}{x}$

Zemish · 16. 11. 2012 12:45 — Editoval Zemish (16. 11. 2012 12:46)

Nerozumím, proč $(e^{xy})'=e^{xy}(y+xy')$ , jinak to chápu! ;-)

Arabela · 16. 11. 2012 12:52

↑ Zemish:
a ten tretí:
$8sin^{2}x+2cos^{2}y=25$
$8.2sin x. cos x + 2.2cos y .(-sin y).y'=0$
$4sin x cos x -y'.sin y. cos y =0$
$\ldots$
$y'=\frac{4.sin x.cos x}{sin y.cos y}$

Arabela · 16. 11. 2012 12:56

↑ Zemish:
Ide o deriváciu zloženej funkcie: e umocnené na "čosi" a to celé derivované je e umocnené na to čosi, krát derivácia toho čosi.
No a to čosi má u nás tvar súčinu, takže to derivujeme ako súčin: derivácia prvého krát druhý plus prvý krát derivácia druhého...

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2012 07:41

Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

#2 16. 11. 2012 10:33 — Editoval Arabela (16. 11. 2012 10:35)

Re: Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

#3 16. 11. 2012 12:31

Re: Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

#4 16. 11. 2012 12:42

Re: Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

#5 16. 11. 2012 12:45 — Editoval Zemish (16. 11. 2012 12:46)

Re: Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

#6 16. 11. 2012 12:52

Re: Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

#7 16. 11. 2012 12:56

Re: Derivace funkce zadané implicitně rovnicí

Zápatí