Matematické Fórum

ExSh00t

Ahoj, pomôžete mi pls s takoutou úlohou?
Máme určit ake lineárne zobrazenie $R^3->R^3$ zadava matica.
Riesenie:
vlastné čísla - dvojnásobná hodnota -1 a jednonásobná 0
vlastný vektor - ( $\lambda = -1$ ) - $(2,0,1) (1,1,0)$
( $\lambda = 0$ ) - $(1,4,-3)$

Osova sumernost podla primky dane poslednim vektorem slozena s projekci na rovinu
kolmou k poslednimu vektoru, tedy danou obecnou rovnici $x+4y-3z=0$

Moj postup:
-determinant označujem slovíčkom det, inak sa jedná o maticu, gulate zatvorky neviem

$det A = 0$
$det A*3 = 0 => 0*3 = 0$

$det A\begin{vmatrix} -\frac23&-\frac13&-\frac23\\ \frac43&-\frac73&-\frac83\\ -1&1&1\\ \end{vmatrix} = 0 /*3$

$det A\begin{vmatrix} -2-k&-1&-2\\ 4&-7-k&-8\\ -3&3&3-k\\ \end{vmatrix} = 0$ $k = 3\lambda$

$-k^3-6k^2+27k+42-14k-24-24+42+6k-48-24k+12-4k=0$
$k^3+6k^2+9k=0$
$k(k^2+6+9)=0$
$k_1= 0$ $\lambda_1 = 0$
$k_2 = -3$ $\lambda_2 = -1$

$:\lambda_1$
$\begin{vmatrix} -2&-1&-2\\ 4&-7&-8\\ -3&3&3\\ \end{vmatrix} \sim \begin{vmatrix} 1&-1&-1\\ 0&3&4\\ 0&0&0\\ \end{vmatrix}$

$x_1 = -\frac13t*3=-t$
$x_2 = -\frac43t*3= -4t$
$x_3 = t*3 = 3t$

$v_1 = (1,4,-3)$

//prečo volíme za t = -1
správne by bolo i t(-1,-4,3), nie?
je jedno či si zvolíme -1 alebo 1?

$:\lambda_2$
$\begin{vmatrix} 1&-1&-2\\ 4&-4&-8\\ -3&3&0\\ \end{vmatrix} \sim \begin{vmatrix} 1&-1&-2\\ 0&0&-6\\ 0&0&0\\ \end{vmatrix}$

$x_1 = s + 2t$
$x_2 = s$
$x_3 = t$

$v_2(a) = (1,1,0)$
$v_2(b) = (2,0,1)$

//prečo tu som nemusel nasobit *3?
//vychadzal som z tohto

$x*(A-\lambda)=0 /3$
$\frac{x}3(a-\lambda)*3=0$
//pre istotu by som si chcle overiť ako sa riešia tieto vlastné vektory:
pri jednom nezávislom parametre napr. t $t \neq 0$ lebo by vyšiel celý vektor x nulový, čo nie je triviálne riešenie, ale pri viacerých už môžeme kombinovať, napr s = 0, t = 1, s = 1, t = 0, ako by to bolo pri 3 až n nezávislých?
-ako vyberáme nezávislé parametry zo sústavy?
A nakoniec ako zanalyzovať úlohu? OK vypočítal som, ale neviem ako z toho vyvodiť dôsledok, pretože nemám úplne jasno v reprezentáci tých vlastných vektorov
Dakujem :)

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2012 01:24 — Editoval ExSh00t (18. 11. 2012 01:25)

Vlastne cisla - vlastne vektory - dosledky

Zápatí