Matematické Fórum

teriii · 18. 11. 2012 14:40 — Editoval teriii (18. 11. 2012 14:42)

Dobrý den, nejsem si jistá s řešením dvou příkladů na derivace složených funkcí. První je: $y=\text{tg}(3x-\frac{\pi }{4})$ . Derivace mi vyšla: $\frac{3}{\cos ^{2}x(3x-\frac{\pi }{4})}$ . Nejsem si jistá, zde se derivuje ta závorka jako jedna funkce a dám tam teda minus nebo tam bude krát a tím pádem to vyjde celé nula. Ten druhý je zadán takto: $\sqrt{\sin 3x+5}$ , tohle jsem zderivovala takhle: $\frac{1}{2\cdot (3\sin 3x+5)}\cdot 3\cos 3x\cdot 0$ a teda mi to vyjde celé nula?

Aquabellla

↑ teriii:

1. příklad:
$y=\text{tg} \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ , nejdříve se zderivuje tangens: $\frac{1}{\cos ^{2}(3x-\frac{\pi }{4})}$ , pak argument: $\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)' = 3$ . Výsledek je, že to dáme dohromady násobením:
$\left(\text{tg}\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)\right)' = \frac{3}{\cos ^{2}(3x-\frac{\pi }{4})}$

2. příklad:
$\sqrt{\sin 3x+5}$ : Derivace odmocniny: $\frac12 \cdot (\sin 3x+5)^{-\frac12}$ , derivace vnitřku: $(\sin 3x+5)' = (\cos 3x \cdot 3 + 0)$
Výsledek je opět součin mezivýsledků: $(\sqrt{\sin 3x+5})' = \frac{3 \cos 3x}{2 \sqrt{\sin 3x+5}}$

((:-)) · 18. 11. 2012 15:02

↑ teriii:

Derivácia zloženej funkcie: derivácia vonkajšej krát derivácia vnútornej.

Derivácia $y=\text{tg}(3x-\frac{\pi }{4})$ je derivácia tangensu, to je $\frac{1}{\cos^2x}$ .

Teraz ale argument nie je x, je to $$3x-\frac{\pi }{4}$$ , za druhú mocninu kosínusu treba napísať uvedenú zátvorku.

Derivácia vnútornej funkcie je derivácia tej zátvorky, jej hodnota je 3. Podľa mňa má výsledok vyzerať

$\frac{3}{\cos ^{2}(3x-\frac{\pi }{4})}$

teriii · 18. 11. 2012 15:06

Jo, díky. A ten druhý? By měl teda vyjít nula, ne?

teriii · 18. 11. 2012 15:20

Děkuji moc. ↑ Aquabellla:

((:-)) · 18. 11. 2012 15:21 — Editoval ((:-)) (18. 11. 2012 15:22)

↑ teriii:

Pochybujem.

1.

Vonkajšia funkcia je mocnina, lebo $\sqrt{\sin 3x+5}=(\sin 3x+5)^{\frac{1}{2}}$ . Derivuješ ako mocninu.

2.

Vnútorná funkcia je $\sin3x+5$ . Derivácia sinusu je kosínus, derivácia čísla 5 je nula, takže derivácia zátvorky je $\cos3x$ , týmto treba násobiť výsledok bodu 1.

3.

Všetko treba ešte násobiť číslom $3$ , lebo sme nederivovali $\sin x$ , ale $\sin3x$ a $3x$ treba zderivovať tiež.