Matematické Fórum

Katsushiro · 18. 11. 2012 16:18

Ahoj všichni! Máme zadaný projekt, kde první 2 příklady jsou na Moivreovu větu, a nevím si s tím tak úplně rady. Mohli byste mi, prosím, někdo lehce pomoct a případné pasáže vysvětlit?

První příklad:
$(\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2})^{5}$
$z = |z|*(cos \alpha + i * sin \alpha)$
$|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1$
$cos\alpha = \frac{a}{|z|}= \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$
$sin\alpha = \frac{b}{|z|}= \frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
$\alpha=60°$
$\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2}=1*(cos\frac{\pi}{3}+i*sin\frac{\pi}{3})$ ... gon. tvar

Takže teď použiju Moivreovu větu:
$(\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2})^{5}=cos\frac{5*\pi}{3}+sin\frac{5*\pi}{3}$
A jak mám tohle upravit dál? Na internetu jsem viděl jen příklady, kde závorka vycházela hezky (např. 1 :D), takže bylo výsledkem celé číslo, ale tady? Stačí jako výsledek tohle nebo to ještě musím nějak upravit?

kompik · 18. 11. 2012 16:29 — Editoval kompik (18. 11. 2012 16:34)

Pozor. Ak $\alpha=\frac\pi3$ , tak $\sin\alpha=\frac{\sqrt3}2$ a $\cos\alpha=\frac12$ . Ty chces iny uhol, ktory ma rovnaky kosinus, ale sinus s opacnym znamienkom. Takze $\pi/3$ asi nebude dobre...
Pomoze nakreslit si jednotkovu kruznicu.

Katsushiro

↑ kompik:
Moc díky, mínusy věčně přehlížím :D

Takže, bude to vypadat nějak takhle:

$\alpha=-60°=-\frac{\pi}{3}$
$\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2}=1*(cos(-\frac{\pi}{3})+i*sin(-\frac{\pi}{3}))$
$(\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2})^{5}=1*(cos(-\frac{5*\pi}{3})+i*sin(-\frac{5*\pi}{3}))$

A pak už nevím, co s příkladem dál - jak bych ho měl upravit?

kompik · 19. 11. 2012 15:33

↑ Katsushiro:
Staci si vsimnut, ze $\frac{-5\pi}3+2\pi=\frac{\pi}3$ . Teda $\cos\frac{-5\pi}3=\cos\frac\pi3$ a $\sin\frac{-5\pi}3=\sin\frac\pi3$ .

(Ale vseobecne by nemal byt problem nakreslit si jednotkovu kruznicu a najst zodpovedajuci uhol v prvom kvadrante, nech uz ti zadaju uhol akykolvek.)

Katsushiro

↑ kompik:
Díky za pomoc, příklad jsem dořešil...

$(\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2})^5=cos\frac{\pi}{3}+i*sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}+i*\frac{\sqrt3}{2}$

Jinak mi šlo taky o to, jak poznám, že je příklad vyřešený, resp. že už nemám upravovat výraz dál?

A aby to nebylo tak jednoduché, mám tu další příklad stejného typu:

$\sqrt{-7+24i}=z$

Chci určit gon. tvar:
$|-7+24i|=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25=|z|$
$sin \alpha = \frac{b}{|z|}=\frac{24}{25}$ $cos \alpha= \frac{a}{|z|}= \frac{-7}{25}$

Problém nastává, když chci určit úhel alfa:
$arcsin (\frac{24}{25}) = 73.74°$ $arccos(\frac{-7}{25})= 106.3°$

Kde dělám chybu tentokrát? :D

kompik · 22. 11. 2012 21:02

↑ Katsushiro:
Myslim, ze nerobis chybu nikde 73,74 stupnov je uhol, ktory az na znamienko sedi a 180-73,74 bude mat kladny sinus a zaporny kosinus. (Skus si nakreslit jednotkovu kruznicu aby si videl, ze $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ .
Nevyhoda je, ze takto ziskas len pribliznu hodnotu.

Cize mne by sa zdalo rozumnejsie skusit vyuzit vzorce pre polovicny uhol
$|\cos(\alpha/2)|=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}$
$|\sin(\alpha/2)|=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}$

Z nich zistis velkost kosinusu a sinusu az na znamienko, ked si to nakreslis, bude vidiet, ze polovicny uhol ma vyjst v prvom kvadrante. (Cize sinus aj kosinus je kladny.)

Brano · 19. 12. 2012 16:39

↑ martas277:
Nie je nejak velmi zdvorile ziadat o vypocitanie prikladu, vhodnejsie je prosit - to nie je nejaka zavazna vycitka, skor upozornenie pre buducnost.

Na novy priklad je vhodne zalozit nove vlakno a ked uz ho budes zakladat, tak si prosim skontroluj zadanie, lebo tak ako to je napisane, tak to nevyzera ako priklad na Moivreovu vetu - neobsahuje $i$ - ale zadanie je legalne, len si ho pre istotu skontroluj.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2012 16:18

Moivreova věta

#2 18. 11. 2012 16:29 — Editoval kompik (18. 11. 2012 16:34)

Re: Moivreova věta

#3 19. 11. 2012 01:55 — Editoval Katsushiro (19. 11. 2012 01:57)

Re: Moivreova věta

#4 19. 11. 2012 15:33

Re: Moivreova věta

#5 22. 11. 2012 19:50 — Editoval Katsushiro (22. 11. 2012 20:30)

Re: Moivreova věta

#6 22. 11. 2012 21:02

Re: Moivreova věta

#7 19. 12. 2012 16:39

Re: Moivreova věta

Zápatí