Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 19. 11. 2012 00:37

Mr.Pinker
Příspěvky: 542
Reputace:   12 
 

Re: limita posloupnosti

dle mého názoru s tím otočením je to uplně jiná situace ..... dle mě protipříklad také pojednává o něčem jiném ...ten správně ukazuje že se nemůže poslat limitně jen část limity a poté dopočítávat ....

Offline

 

#27 19. 11. 2012 00:38

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

Hm tak toto by mohol byt dobry protipriklad

$\frac{-e}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n-e}{\frac1n}\not=\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{\frac1n}=0$


http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … o+infinity

Offline

 

#28 19. 11. 2012 00:45

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: limita posloupnosti

↑↑ Bati:
jako dobrý no, ale já v tom vidím 1 na nekonečno, ale to je jedno...


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#29 19. 11. 2012 00:47

Mr.Pinker
Příspěvky: 542
Reputace:   12 
 

Re: limita posloupnosti

↑ JohnPeca18:$\frac{-e}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n-e}{\frac1n}\not=\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{\frac1n}=0$ m8m pocit že ta prava strana není pravda máš tam výraz 0/0

Offline

 

#30 19. 11. 2012 00:50 — Editoval JohnPeca18 (19. 11. 2012 00:54)

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

↑ Mr.Pinker:
Ale je to solidna nula, ako remen, ziadna akoze 0 :D. V tom je ta pointa, ze e je e a $(1+\frac{1}{n})^n$ sa len blizi k e. V skutocnosti to e nikdy nebude  ..

$\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1/n}=\lim_{n\to\infty}0=0$

Offline

 

#31 19. 11. 2012 00:57

Bati
Příspěvky: 2402
Reputace:   188 
 

Re: limita posloupnosti

↑ JohnPeca18:
Přesně tak. Ve skutečnosti všechny protipříklady, které jsme vám dali jsou na stejném principu, jen vy to zatím nevidíte.

Offline

 

#32 19. 11. 2012 00:59

jrn
Příspěvky: 398
Reputace:   11 
 

Re: limita posloupnosti

↑↑ Bati:
:-) Alespoň se to pořádně osvětlí, je to totiž dost častá chyba a tenhle příklad k ní celkem svádí, u nás tomu říkají "dvojité limitění".

Offline

 

#33 19. 11. 2012 01:00

Mr.Pinker
Příspěvky: 542
Reputace:   12 
 

Re: limita posloupnosti

a proč ne takhle ?
$\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1/n}=\lim_{n\to\infty}n=\infty$

Offline

 

#34 19. 11. 2012 01:02

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

$\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1/n}=\lim_{n\to\infty}n.0=\lim_{n\to\infty}0=0$

Offline

 

#35 19. 11. 2012 01:04

Mr.Pinker
Příspěvky: 542
Reputace:   12 
 

Re: limita posloupnosti

no právě o to mi jde mě příjde výraz nekonečno krát nula jako nedefinovaný

Offline

 

#36 19. 11. 2012 01:05

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

↑ Mr.Pinker:
Ale tam nie je nekonecno, tam je len n. Este sme nelimitili. Schvalne si vsimni predposlednu rovnost.

Offline

 

#37 19. 11. 2012 01:07

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: limita posloupnosti

↑↑ Honza90:
Ahoj,
jen tento postup rozhodně není možný!!! To je jako limicení v limitě. Na tohle je nejlepší použít Heineho větu a spočítat limitu funkce.

BTW: Mám pocit, že jsi taky jaderňák. Tenhle příklad se dá udělat odhadem, co je ve skriptíčkách řešených příkladů. Ten odhad si ale už nepamatuji a teď nemám čas ho vymýšlet.

Offline

 

#38 19. 11. 2012 01:15

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

Je pravda, ze cela tato diskuse bude asi zadavatelovi k nicemu. Pretoze to reseni co sem napsal pomoci Heineho, mu nevezmou, pretoze nejspis este limitu funkce a ani Heineho vetu ve skole nebrali.

Offline

 

#39 19. 11. 2012 01:25

Bati
Příspěvky: 2402
Reputace:   188 
 

Re: limita posloupnosti

Mr.Pinker napsal(a):

dle mého názoru s tím otočením je to uplně jiná situace ..... dle mě protipříklad také pojednává o něčem jiném ...ten správně ukazuje že se nemůže poslat limitně jen část limity a poté dopočítávat ....

Ještě k tomuto (dle mě perla dne...přinejmenším :-) : Pokud otočím strany rovnosti, tak je to pořád stejná situace, neboť relace rovnosti je ekvivalence a tudíž symetrická.

Offline

 

#40 19. 11. 2012 01:35

Mr.Pinker
Příspěvky: 542
Reputace:   12 
 

Re: limita posloupnosti

$\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^{n}}-1)=\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{e}-1)$
to bylo myšleno na tenhle případ než to upravovat obrácenně jelikož limitně pouštíš jen čast limity .....

Offline

 

#41 19. 11. 2012 01:51

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: limita posloupnosti

↑ JohnPeca18:
Myslím, že Heine v pořádku bude, alespoň loni údajně byl. Jinak asi jedině ten odhad...

Nakonec jsem ho našel
$e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$
zlogaritmováním
$\frac1{n+1}<\ln\left(1+\frac1n \right)$
Pak protože exponenciela je monotonní
$e^\frac1n<e^{\ln\left(1+\frac1{n-1} \right)}$
Je to jen náznak... Ale snad pomůže.

Offline

 

#42 19. 11. 2012 08:13

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: limita posloupnosti

Klidně se tomuhle zasmějte, ale nevidím rozdíl mezi počítáním limity posloupnosti a limity funkce.


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#43 20. 11. 2012 12:05

jarry
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: limita posloupnosti

Taky počítám tenhle příklad a zasekl jsem se na stejném problému jako vy.
Sám bych to vyřešil tím, že položím $e = (1 + \frac{1}{n})$
Je to sice jen odhad, protože e samotné nikdy této hodnoty nenabude, ale i tak je tento odhad velmi přesný...
Když uvážíme, že při výpočtu obvodu kruhu považujeme za výsledek taky jen odhad, myslím, že by to v tomto případě nemuselo vadit.
Nejsem sice zatím nijak pokročilý matematik, ale myslím že se s e jinak pracovat nedá. Přikláním se tedy k řešní, že se mi mocnina a odmocnina vyruší a zbude mi limita 1....

Offline

 

#44 20. 11. 2012 13:13 — Editoval JohnPeca18 (20. 11. 2012 13:13)

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

↑ jarry:
to ze to je jenom skoro e a ne e, to je zasadny problem. Vid muj protipriklad vyse, i další protipříklady které tu padli. Když chceš tak si je projdi a sám uvidíš. Samozrejme, že keď staváš barák, tak ti tolik nevadí, že namísto $\pi$ pouzijes 3.14 a namisto e pouzijes nejakych 2.71. Ale tady to tak nefunguje.

Spravne riesienie som uz napsal driv, mozna ne moc zrozumitelne. Pouzije sa Heineho veta, ktera nam umozni pocitat limitu posloupnosti ako by to byla limita funkce. Takze ako kdybych mel limitu

$\lim_{x\to+\infty }=x({e}^{\frac{1}{x}}-1)$

Pak pouziju substituci $y=\frac{1}{x}$
A dostanu
$\lim_{y\to 0}=\frac{1}{y}({e}^{y}-1)=\lim_{y\to 0}\frac{(e^y-1).y}{y}.\frac{1}{y}=
\lim_{y\to 0}\frac{(e^y-1)}{y}.\lim_{y\to 0}y\frac{1}{y}=1.\lim_{y\to 0}1=1$

Offline

 

#45 20. 11. 2012 13:23

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

↑ Honza90:
Rozdil je v tom, ze pokud se jedna teda o limity posloupnosti a limity realne funkce, tak
v prvnim pripade jde o funkci z N do R a v druhom o funkci z R do R. Z ceho plynou ruzne dusledky, treba to, ze v pripade posloupnosti nema moc vyznam pocitat limitu jinou, nez tu jdouci do nekonecna, dokonce jenom +nekonecna. V limite funkcie ma vyznam riesit limity jdouci k nejakemu bodu, je tam totiz dobre definovane okoli bodu, limita zleva a limita zprava atd. Na druhe strane v limite funkci se tezko pracuje s takovymi vecmi ako je treba faktorial, kombinacni cisla, (-1)^n a tak. Jinak pro blizsi porozumeni je urcite lepsie si nastudovat nejaku teoriu, nejake skripta.

Offline

 

#46 20. 11. 2012 14:47

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

Ked tak rozmyslam, tak slo by to ale muselo by sa to pouzit ako odhad, tak ako pisal v naznaku user.
Pouzit
$(1+\frac{1}{n})^n\leq e\leq (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
a z toho ako user psal
$e^\frac1n<e^{\ln\left(1+\frac1{n-1} \right)}$
To by snad malo platit.
Potom by sa dala pouzit veta o 2 policajtoch.
$n(e^{1/n}-1)\leq n(e^{\ln\left(1+\frac1{n-1} \right)}-1)=
n(1+\frac{1}{n-1}-1)=\frac{n}{n-1}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1$
$n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^n}-1)\leq n(e^{1/n}-1)$
$\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^n}-1)=1$
Kedze obe posloupnosti maji limitu 1, tak i sevrena posloupnost ma limitu 1.

Offline

 

#47 20. 11. 2012 22:00

jarry
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: limita posloupnosti

Jo, jo máš pravdu ...tu je to rozhodující docela dost ...jen jsem si to chtěl zjednodušit, ale přes limitu sevřené posloupnosti, to dává určitě největší smysl...

Offline

 

#48 21. 11. 2012 08:18

jarry
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: limita posloupnosti

Jen ještě k tvému původnímu odhadu: ↑ JohnPeca18:$(1+\frac{1}{n})^n\leq e\leq (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
Jsi si jistý, že platí ten odhad zespod??...Něco mi říká, že oba odhady jsou větší než e...

Offline

 

#49 21. 11. 2012 08:49

JohnPeca18
Příspěvky: 651
Škola: MFF UK
Pozice: Absolvent 2014
Reputace:   81 
 

Re: limita posloupnosti

↑ jarry:
urcite plati
$1+x\leq e^x, x\in\mathbb{R}$
To se pouziva hodne v odhadech.
Takze po umocneni
$(1+\frac{1}{n})\leq e^{\frac{1}{n}}$
by to platit melo.

Offline

 

#50 21. 11. 2012 09:06 — Editoval jarry (21. 11. 2012 09:06)

jarry
Zelenáč
Příspěvky: 14
Reputace:   
 

Re: limita posloupnosti

↑ JohnPeca18:
No já myslel, že e se limitně blíží k $(1+\frac{1}{n})^{n}$. To znamená, že e téhle hodnoty nikdy nenabude. Ty ale tvrdíš, že $(1+\frac{1}{n})^{n} \le e$ ...to je podle mě spor...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson