Matematické Fórum

Mr.Pinker · 19. 11. 2012 00:37

dle mého názoru s tím otočením je to uplně jiná situace ..... dle mě protipříklad také pojednává o něčem jiném ...ten správně ukazuje že se nemůže poslat limitně jen část limity a poté dopočítávat ....

JohnPeca18 · 19. 11. 2012 00:38

Hm tak toto by mohol byt dobry protipriklad

$\frac{-e}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n-e}{\frac1n}\not=\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{\frac1n}=0$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … o+infinity

Honza90 · 19. 11. 2012 00:45

↑↑ Bati:
jako dobrý no, ale já v tom vidím 1 na nekonečno, ale to je jedno...

Mr.Pinker · 19. 11. 2012 00:47

↑ JohnPeca18: $\frac{-e}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n-e}{\frac1n}\not=\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{\frac1n}=0$ m8m pocit že ta prava strana není pravda máš tam výraz 0/0

JohnPeca18

↑ Mr.Pinker:
Ale je to solidna nula, ako remen, ziadna akoze 0 :D. V tom je ta pointa, ze e je e a $(1+\frac{1}{n})^n$ sa len blizi k e. V skutocnosti to e nikdy nebude ..

$\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1/n}=\lim_{n\to\infty}0=0$

Bati · 19. 11. 2012 00:57

↑ JohnPeca18:
Přesně tak. Ve skutečnosti všechny protipříklady, které jsme vám dali jsou na stejném principu, jen vy to zatím nevidíte.

jrn · 19. 11. 2012 00:59

↑↑ Bati:
:-) Alespoň se to pořádně osvětlí, je to totiž dost častá chyba a tenhle příklad k ní celkem svádí, u nás tomu říkají "dvojité limitění".

Mr.Pinker · 19. 11. 2012 01:00

a proč ne takhle ?
$\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1/n}=\lim_{n\to\infty}n=\infty$

JohnPeca18 · 19. 11. 2012 01:02

$\lim_{n\to\infty}\frac{e-e}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{1/n}=\lim_{n\to\infty}n.0=\lim_{n\to\infty}0=0$

Mr.Pinker · 19. 11. 2012 01:04

no právě o to mi jde mě příjde výraz nekonečno krát nula jako nedefinovaný

JohnPeca18 · 19. 11. 2012 01:05

↑ Mr.Pinker:
Ale tam nie je nekonecno, tam je len n. Este sme nelimitili. Schvalne si vsimni predposlednu rovnost.

user · 19. 11. 2012 01:07

↑↑ Honza90:
Ahoj,
jen tento postup rozhodně není možný!!! To je jako limicení v limitě. Na tohle je nejlepší použít Heineho větu a spočítat limitu funkce.

BTW: Mám pocit, že jsi taky jaderňák. Tenhle příklad se dá udělat odhadem, co je ve skriptíčkách řešených příkladů. Ten odhad si ale už nepamatuji a teď nemám čas ho vymýšlet.

JohnPeca18 · 19. 11. 2012 01:15

Je pravda, ze cela tato diskuse bude asi zadavatelovi k nicemu. Pretoze to reseni co sem napsal pomoci Heineho, mu nevezmou, pretoze nejspis este limitu funkce a ani Heineho vetu ve skole nebrali.

Bati · 19. 11. 2012 01:25

Mr.Pinker napsal(a):
dle mého názoru s tím otočením je to uplně jiná situace ..... dle mě protipříklad také pojednává o něčem jiném ...ten správně ukazuje že se nemůže poslat limitně jen část limity a poté dopočítávat ....

Ještě k tomuto (dle mě perla dne...přinejmenším :-) : Pokud otočím strany rovnosti, tak je to pořád stejná situace, neboť relace rovnosti je ekvivalence a tudíž symetrická.

Mr.Pinker · 19. 11. 2012 01:35

$\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^{n}}-1)=\lim_{n\to+\infty }n(\sqrt[n]{e}-1)$
to bylo myšleno na tenhle případ než to upravovat obrácenně jelikož limitně pouštíš jen čast limity .....

user · 19. 11. 2012 01:51

↑ JohnPeca18:
Myslím, že Heine v pořádku bude, alespoň loni údajně byl. Jinak asi jedině ten odhad...

Nakonec jsem ho našel
$e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$
zlogaritmováním
$\frac1{n+1}<\ln\left(1+\frac1n \right)$
Pak protože exponenciela je monotonní
$e^\frac1n<e^{\ln\left(1+\frac1{n-1} \right)}$
Je to jen náznak... Ale snad pomůže.

Honza90 · 19. 11. 2012 08:13

Klidně se tomuhle zasmějte, ale nevidím rozdíl mezi počítáním limity posloupnosti a limity funkce.

jarry · 20. 11. 2012 12:05

Taky počítám tenhle příklad a zasekl jsem se na stejném problému jako vy.
Sám bych to vyřešil tím, že položím $e = (1 + \frac{1}{n})$
Je to sice jen odhad, protože e samotné nikdy této hodnoty nenabude, ale i tak je tento odhad velmi přesný...
Když uvážíme, že při výpočtu obvodu kruhu považujeme za výsledek taky jen odhad, myslím, že by to v tomto případě nemuselo vadit.
Nejsem sice zatím nijak pokročilý matematik, ale myslím že se s e jinak pracovat nedá. Přikláním se tedy k řešní, že se mi mocnina a odmocnina vyruší a zbude mi limita 1....

JohnPeca18

↑ jarry:
to ze to je jenom skoro e a ne e, to je zasadny problem. Vid muj protipriklad vyse, i další protipříklady které tu padli. Když chceš tak si je projdi a sám uvidíš. Samozrejme, že keď staváš barák, tak ti tolik nevadí, že namísto $\pi$ pouzijes 3.14 a namisto e pouzijes nejakych 2.71. Ale tady to tak nefunguje.

Spravne riesienie som uz napsal driv, mozna ne moc zrozumitelne. Pouzije sa Heineho veta, ktera nam umozni pocitat limitu posloupnosti ako by to byla limita funkce. Takze ako kdybych mel limitu

$\lim_{x\to+\infty }=x({e}^{\frac{1}{x}}-1)$

Pak pouziju substituci $y=\frac{1}{x}$
A dostanu
$\lim_{y\to 0}=\frac{1}{y}({e}^{y}-1)=\lim_{y\to 0}\frac{(e^y-1).y}{y}.\frac{1}{y}= \lim_{y\to 0}\frac{(e^y-1)}{y}.\lim_{y\to 0}y\frac{1}{y}=1.\lim_{y\to 0}1=1$

JohnPeca18 · 20. 11. 2012 13:23

↑ Honza90:
Rozdil je v tom, ze pokud se jedna teda o limity posloupnosti a limity realne funkce, tak
v prvnim pripade jde o funkci z N do R a v druhom o funkci z R do R. Z ceho plynou ruzne dusledky, treba to, ze v pripade posloupnosti nema moc vyznam pocitat limitu jinou, nez tu jdouci do nekonecna, dokonce jenom +nekonecna. V limite funkcie ma vyznam riesit limity jdouci k nejakemu bodu, je tam totiz dobre definovane okoli bodu, limita zleva a limita zprava atd. Na druhe strane v limite funkci se tezko pracuje s takovymi vecmi ako je treba faktorial, kombinacni cisla, (-1)^n a tak. Jinak pro blizsi porozumeni je urcite lepsie si nastudovat nejaku teoriu, nejake skripta.

JohnPeca18 · 20. 11. 2012 14:47

Ked tak rozmyslam, tak slo by to ale muselo by sa to pouzit ako odhad, tak ako pisal v naznaku user.
Pouzit
$(1+\frac{1}{n})^n\leq e\leq (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
a z toho ako user psal
$e^\frac1n<e^{\ln\left(1+\frac1{n-1} \right)}$
To by snad malo platit.
Potom by sa dala pouzit veta o 2 policajtoch.
$n(e^{1/n}-1)\leq n(e^{\ln\left(1+\frac1{n-1} \right)}-1)= n(1+\frac{1}{n-1}-1)=\frac{n}{n-1}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1$
$n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^n}-1)\leq n(e^{1/n}-1)$
$\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^n}-1)=1$
Kedze obe posloupnosti maji limitu 1, tak i sevrena posloupnost ma limitu 1.

jarry · 20. 11. 2012 22:00

Jo, jo máš pravdu ...tu je to rozhodující docela dost ...jen jsem si to chtěl zjednodušit, ale přes limitu sevřené posloupnosti, to dává určitě největší smysl...

jarry · 21. 11. 2012 08:18

Jen ještě k tvému původnímu odhadu: ↑ JohnPeca18: $(1+\frac{1}{n})^n\leq e\leq (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
Jsi si jistý, že platí ten odhad zespod??...Něco mi říká, že oba odhady jsou větší než e...

JohnPeca18 · 21. 11. 2012 08:49

↑ jarry:
urcite plati
$1+x\leq e^x, x\in\mathbb{R}$
To se pouziva hodne v odhadech.
Takze po umocneni
$(1+\frac{1}{n})\leq e^{\frac{1}{n}}$
by to platit melo.

jarry · 21. 11. 2012 09:06 — Editoval jarry (21. 11. 2012 09:06)

↑ JohnPeca18:
No já myslel, že e se limitně blíží k $(1+\frac{1}{n})^{n}$ . To znamená, že e téhle hodnoty nikdy nenabude. Ty ale tvrdíš, že $(1+\frac{1}{n})^{n} \le e$ ...to je podle mě spor...

Matematické Fórum

#26 19. 11. 2012 00:37

Re: limita posloupnosti

#27 19. 11. 2012 00:38

Re: limita posloupnosti

#28 19. 11. 2012 00:45

Re: limita posloupnosti

#29 19. 11. 2012 00:47

Re: limita posloupnosti

#30 19. 11. 2012 00:50 — Editoval JohnPeca18 (19. 11. 2012 00:54)

Re: limita posloupnosti

#31 19. 11. 2012 00:57

Re: limita posloupnosti

#32 19. 11. 2012 00:59

Re: limita posloupnosti

#33 19. 11. 2012 01:00

Re: limita posloupnosti

#34 19. 11. 2012 01:02

Re: limita posloupnosti

#35 19. 11. 2012 01:04

Re: limita posloupnosti

#36 19. 11. 2012 01:05

Re: limita posloupnosti

#37 19. 11. 2012 01:07

Re: limita posloupnosti

#38 19. 11. 2012 01:15

Re: limita posloupnosti

#39 19. 11. 2012 01:25

Re: limita posloupnosti

Mr.Pinker napsal(a):

#40 19. 11. 2012 01:35

Re: limita posloupnosti

#41 19. 11. 2012 01:51

Re: limita posloupnosti

#42 19. 11. 2012 08:13

Re: limita posloupnosti

#43 20. 11. 2012 12:05

Re: limita posloupnosti

#44 20. 11. 2012 13:13 — Editoval JohnPeca18 (20. 11. 2012 13:13)

Re: limita posloupnosti

#45 20. 11. 2012 13:23

Re: limita posloupnosti

#46 20. 11. 2012 14:47

Re: limita posloupnosti

#47 20. 11. 2012 22:00

Re: limita posloupnosti

#48 21. 11. 2012 08:18

Re: limita posloupnosti

#49 21. 11. 2012 08:49

Re: limita posloupnosti

#50 21. 11. 2012 09:06 — Editoval jarry (21. 11. 2012 09:06)

Re: limita posloupnosti

Zápatí