Matematické Fórum

22.12.2012 · 01. 12. 2012 22:13

AhoJ, mám tento příklad:

Myslím že klíčem ke všemu je vyjadření času, pokoušel jsem se o to aby mi vyšlo to samé co ve výsledcích, ale problémem je ten výraz $v_{1}^{2}+v_{2}^{2}$ ve jmenovateli, nevím jak se nějakými upravami k tomu dostat. Nemohl by mi někdo prosím poradit něco užitečnějšího?

jelena · 01. 12. 2012 23:05

Zdravím,

sestavím rovnici pro vzdálenost broučků v čase t (z pravoúhlého trojúhelníku): $l^2=(tv_2)^2+(l_{10}-tv_1)^2$ , vzdálenost bude minimální, pokud derivace kvadrátu vzdálenosti je nulová (toto zjednodušení doporučuje kolega Olin). Až budeš derivovat, tak proměnná je t.

Stačí tak na úvod? Děkuji.

zdenek1 · 01. 12. 2012 23:09

↑ 22.12.2012:
Zavedeš si souřadnice např. tak, že první brouk leze po ose $x$ a druhý po ose $y$
$x=l_0-v_1t$
$y=v_2t$
Pro vzdálenost (Pythagorova věta)
$d=\sqrt{x^2+y^2}$
$d=\sqrt{(l_0-v_1t)^2+(v_2t)^2}=\sqrt{(v_1^2+v_2^2)t^2-2l_0v_1t+l_0^2}$
$d$ bude minimální, když bude minimální výraz pod odmocninou.
Tento výraz je je kvadratická funkce a její minimum je ve vrcholu.
$x$ - ová souřadnice vrcholu fce $y=ax^2+bx+c$ je $x_v=-\frac b{2a}$
Analogicky pro tvoji fci
$t_{min}=-\frac{-2l_0v_1}{2(v_1^2+v_2^2)}$