Matematické Fórum

aircrew · 05. 12. 2012 19:10 — Editoval jelena (06. 12. 2012 09:57)

Ahoj, nevím si rady s následující limitou posloupnosti:
$\lim_{n\to \infty}(\frac{(n+1)^5-n^5}{n^4\cdot (\log (n+1))^{\frac{1}{n}})}\cdot \sin$\frac{n\pi}{2}$$
Dostal jsem se do této fáze:
$\lim_{n\to \inftz} \frac{5+10/n+10/n^2+5/n^3+1/n^4}{(\log (n+1))^{\frac{1}{n}}}\cdot \sin$\frac{n\pi}{2}$$
Děkuji za jakoukoliv pomoc

Jelena: oprava TeX zápisu

jelena · 06. 12. 2012 10:01 — Editoval jelena (06. 12. 2012 10:03)

Zdravím,

opravila jsem Tvůj TeX zápis (trochu) - souhlasí to? Zda se, že čitatel je již "vyřešen", třeba dokázat, že limita $(\log (n+1))^{\frac{1}{n}}$ je 1 (je tak?), ale řekla bych, že klíčový bude moment, že $\sin$\frac{n\pi}{2}$$ může být 1, 0 (doplněno) nebo -1.

Je to tak? Děkuji.

aircrew · 06. 12. 2012 20:55

Ano, takhle je to správně. Ale nevím, jak to dokázat a co s tím sinem...

jelena · 06. 12. 2012 23:19

↑ aircrew:

asi bych přepsala $(\ln (n+1))^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\cdot \ln(\ln(n+1))}$ a jaké techniky můžete používat? Máte zdůvodněny podmínky pro použití l´Hospital také při limitě posloupnosti (tak mi vyšla 1, ale pokud nemůžete používat, tak třeba jinou metodu)?

sin - jelikož nabývá hodnot, jak je uvedeno pro různá n, tak posloupnost limitu nemá.

Brano · 07. 12. 2012 01:14

$1\le \ln(n+1)\le n$ pre $n$ dostatocne velke a teda
$1\le\sqrt[n]{\ln(n+1)}\le\sqrt[n]{n}\to 1$
takze vsetko okrem toho sinusu by malo konvergovat k $5$ a kedze ten sinus osciluje $\{-1,0,1\}$ ako bolo uz povedane, tak limita neexistuje.