Matematické Fórum

Jojohnny · 06. 12. 2012 20:39

Zdar všem. Mám úlohu; Sestrojte tečnu elipsy, pokud známe bod na tečně a elipsa je dána hlavními vrcholy. Nevíte jak se to řeší? Děkuji.

Bati · 06. 12. 2012 21:11

Zdar,
z hlavních vrcholů snadno spočteš střed $S=[m,n]$ , délky poloos $a$ a $b$ , takže můžeš sestavit rovnici elipsy $\varepsilon:\quad\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$ .
Dál budeš hledat tečnu, procházející známým bodem $A=[a_1,a_2]$ , a dotýkající se elipsy v neznámém bodě $T=[t_1,t_2]$ . Tečna je přímka a v tomto případě je výhodné hledat její rovnici ve tvaru:
$t:\quad\frac{(t_1-m)}{a^2}(x-m)+\frac{(t_2-n)}{b^2}(y-n)=1$ , kde tedy neznáme $t_1$ a $t_2$ .
Ty se dopočítají z toho, že tečna prochází body $A$ i $T$ :
$A\to t:\quad\frac{(t_1-m)(a_1-m)}{a^2}+\frac{(t_2-n)(a_2-n)}{b^2}=1$
$T\to t:\quad\frac{(t_1-m)^2}{a^2}+\frac{(t_2-n)^2}{b^2}=1$ ,
což už je jen soustava dvou rovnic o dvou neznámých, která je obecně kvadratická, takže vyjdou dva body dotyku.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2012 20:39

Tečna elipsy

#2 06. 12. 2012 21:11

Re: Tečna elipsy

Zápatí