Matematické Fórum

adjamot · 06. 12. 2012 21:36

Dobrý den,
mohu se zeptat ctěných matematiček a matematiků, zda je (tento můj první důkaz) korektní?
Odkaz

jarrro · 06. 12. 2012 22:00

ten "dôkaz" úplnosti má čo znamenať ?
ty máš cauchyovskosť predpokladať a z nej dokázať konvergentnosť
postupnosť v tomto prípade znamená postupnosť postupností
ty ukazuješ (aj to nie úplne košér), že existujú postupnosti s ľubovoľne malo vzdilenosťou čo od teba (aspoň podľa zadania) nikto nechce

adjamot

↑ jarrro:
asi to není moc vidět, ale na druhé straně je použita rovnost limity v nekonečnu, limity inferior v nekonečnu, limity superior, aby byla ukázána konvergence. Tedy každá posloupnost je cauchyovská, každá posloupnost je konvergentní.

jarrro · 06. 12. 2012 22:22

↑ adjamot:každá postupnosť určite cauchyovská nie je čo napr. postupnosť
$x_n=\left(n,0,0,\cdots ,0,\cdots\right)$ nech by si volil akokoľvek
$n_0$ , vždy budú mať prvky s rôznymi indexami vzdialenosť jedna teda nie menšiu ako povedzme
$\frac{1}{2}$

adjamot · 06. 12. 2012 22:36

↑ jarrro:
vstupem do metriky jsou dvě posloupnosti; a lambda je nejmenší index takový, kde se ty indexy liší.
Pro tvoji posloupnosti bych našel takovou posloupnost $x_{m}$ , která se liší "až ve třetím" pozici, tedy metrika by byla 1/3.

adjamot · 06. 12. 2012 22:43

Já si ty různé posloupnosti představuju jako matici, v které jsou sloupce lambdami. Tedy pro každou posloupnost najdeme "nekonečně mnoho" posloupností, ať si vybereme epsilon jakkoli "divoce".

jarrro · 06. 12. 2012 22:45 — Editoval jarrro (06. 12. 2012 22:55)

↑ adjamot:???
ako sa môžu líšiť až v tretej pozícii keď sa líšia v prvej
vzdialenosť prvkov (postupností reálnych čísel) s indexami
$m,n;m\neq n$ v "mojej" postupnosti aj pre
$m=999999999999999999999999999999999999999999999\nl n=10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$
je vždy 1
postupnosť je postupnosť čiže prirodzeným číslam priraďuješ prvky v tomto prípade sú tie prvky postupnosti reálnych čísiel
čiže v tom "mojom" prípade je
$x_1=\left(1, 0, 0,\cdots ,0,\cdots\right)\nl x_2=\left(2, 0, 0,\cdots ,0,\cdots\right)\nl x_3=\left(3, 0, 0,\cdots ,0,\cdots\right)\nl\vdots$
a vzdialenosť napr.
$\varrho{\left(x_{300},x_{500}\right)}=\varrho{\left(\left(300, 0, 0,\cdots ,0,\cdots\right),\left(500, 0, 0,\cdots ,0,\cdots\right)\right)}=\frac{1}{1}=1$

adjamot · 06. 12. 2012 22:56

Já to chápu takto. Pro každé epsilon předem určené a jednu posloupnost x_{n} najdeme takovou x_{m}, pro kterou bude vzdálenost menší než epsilon. Tedy můžeme nehezké posloupnosti zahodit, ale najdeme takové posloupnosti, které podmínku danou epsilon splní.

adjamot · 06. 12. 2012 23:00

↑ jarrro:
Toto uspořádání posloupností sis určil sám ;) pro $x_{300}$ najdeš takové jiné, že epsilon múže být libovolné

jarrro · 06. 12. 2012 23:03 — Editoval jarrro (06. 12. 2012 23:04)

↑ adjamot:tak cauchyovské postupnosti určite existujú úloha chce dokázať, že ak je nejaká postupnosť (ktorej prvky sú postupnosti reálnych čísel) cauchyovská, tak je aj konvergentná (ako to formálne košér spísať ma ale momentálne nenapadá, len sa snažím ti ukázať, že nedokazuješ to čo sa od teba chce)
↑ adjamot:aké usporiadanie?

adjamot · 06. 12. 2012 23:06

↑ adjamot:
Rozdíl dvou následujících prvků harmonické posloupností také není "hned" nula. Proto ty, co se nám nehodí do krámu "vyhodíme".

adjamot · 06. 12. 2012 23:10

↑ jarrro:
konvergenci posloupnosti ukazuju na druhé straně ;) pomocí pomocné věty (3)
za posloupnost $a_{n}$ dosadím přímo tu metriku

jarrro · 06. 12. 2012 23:11 — Editoval jarrro (06. 12. 2012 23:18)

príklad cauchyovskej postupnosti je napr.
$x_1=\left(1, 0, 0,\cdots ,0,\cdots\right)\nl x_2=\left(1, 2, 0,\cdots ,0,\cdots\right)\nl x_3=\left(1, 2, 3,\cdots ,0,\cdots\right)\nl\vdots\nl x_n=\left(1, 2, 3,\cdots ,n,0,0,\cdots ,0,\cdots\right)\nl\vdots$
↑ adjamot:ty máš dokazovať konvergenciu postupnosti v priestore X
čo nerobíš

adjamot napsal(a):
za posloupnost $a_n$ dosadím přímo tu metriku

to je práve tá chyba na ktorú sa snažím upozorniť. Za postupnosť treba dosadzovať postupnosť postupností reálnych čísel o ktorej predpokladáš, že je cauchyovská

adjamot · 07. 12. 2012 11:00

↑ jarrro:

Přepracoval jsem, že cauchyovost předpokládáme v nové verzi svého projektu.
Je už ten korektní?

https://dl.dropbox.com/u/6033423/ufa_II.pdf

adjamot

↑ jarrro:
Ještě mě napadlo použít toto tvrzení:
$M$ je uzavřená množina (množina X je množina všech posloupností reálných čísel) toto tvrzení je ekvivalentní s $(\forall n \in \mathbb{N}: x_{n} \in M) \wedge (x_{n}\rightarrow x \in X) \Rightarrow x \in M$
1. první předpoklad je $(\forall n \in \mathbb{N}: x_{n} \in M)$ tento předpoklad je splněn
2. také závěr $x\in M$ je platný
tedy 2. předpoklad musí být také platný

Brano · 07. 12. 2012 14:26

↑ adjamot:
Od kedy zacinas riesit uplnost to mas uplne zle. Teba Cauchyovskost postupnosti z $\mathbb{R}$ vobec nemusi nezaujimat, to su prvky priestoru $X$ a ty si mas zobrat lubovolnu Cauchyovsku postupnost prvkov z $X$ t.j. postupnost postunosti, ktora je Cauchyovska vzhladom na zadanu metriku a mas o nej dokazat, ze konverguje. Zatial si tam iba zhomazdil niekolko tvrdeni, ktore nejak vzajomne moc nesuvisia a hlavne vobec nesuvisia zo zadanim.

adjamot · 07. 12. 2012 14:59

↑ Brano:

Díky za upozornění ;)

Snažil jsem se přepsat tvrzení pro $\varepsilon >1$ , že se jedná o posloupnost posloupností takto:

Zvolíme-li nějakou posloupnost $\lbrace x_{n}\rbrace_{n=1}^{\infty}$ a $\varepsilon >1$ , pak pro všechny posloupnosti $(\lbrace x_{m}\rbrace_{m=1}^{\infty})$ bude platit, že:
( protože platí: $\sup(\rho(\lbrace x_{n}\rbrace _{n=1}^{\infty},\lbrace x_{m}\rbrace_{m=1}^{\infty}))=1$ )

$(\exists n_{0} \in \mathbb{N})(\forall n, m \in \mathbb{N}; n, m \geq n_{0}):\rho (\lbrace x_{n}\rbrace_{n=1}^{\infty},\lbrace x_{m}\rbrace_{m=1}^{\infty})\leq 1<\varepsilon$

Jsem teď už v prostoru $X$ ?

Brano · 07. 12. 2012 16:49

adjamot napsal(a):
↑ Brano:
...
$(\exists n_{0} \in \mathbb{N})(\forall n, m \in \mathbb{N}; n, m \geq n_{0}):\rho (\lbrace x_{n}\rbrace_{n=1}^{\infty},\lbrace x_{m}\rbrace_{m=1}^{\infty})\leq 1<\varepsilon$

Sice sa to uz zacina podobat na priestor $X$ , ale tento vyrok nema zmysel. Vyraz $\rho (\lbrace x_{n}\rbrace_{n=1}^{\infty},\lbrace x_{m}\rbrace_{m=1}^{\infty})\leq 1<\varepsilon$ nema ziadne volne $m,n$ ktorych by sa mohly tykat tie kvantifikatory pred nim.

Tu postupnost z $X$ mozes zapisat trebars takto: $\mathbf{x}_n\in X$ ; $\mathbf{x}_n=(x_{n1},x_{n2},...)$ . Potom $\rho(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_m)=(\min\{k\in\mathbb{N};x_{nk}\not=x_{mk}\})^{-1}$ .

Dalsi postup.
0) Nesnaz sa upravovat svoj povodny dokaz, nema to vyznam.
1) Rozpis si co znamena Cauchyovskost takejto postupnosti.
2) Odhadni aka by mohla byt jej limita.
3) Dokaz, ze to k nej konverguje.

adjamot · 07. 12. 2012 17:58

↑ Brano:
díky za pomoc ;)

adjamot · 07. 12. 2012 20:13

↑ Brano:

zapracoval jsem tam tvé připomínky a výsledek je tento ;)

https://dl.dropbox.com/u/6033423/ufa_III.pdf

snad je už konečně důkaz korektní

Brano · 07. 12. 2012 22:59 — Editoval Brano (07. 12. 2012 23:00)

0) "Dokazujeme: Je-li v metrickém prostoru X každá cauchyovská posloupnost konvergentní, metrický prostor X je úplný"
nie nedokazujeme - to je definicia. Tu pouzivame a dokazujeme uplnost. Cize mas predpokladas ze nejaka postupnost je Cauchyovska a dokazat o nej, ze je konvergentna.
1) nevyberaj konkretne $\epsilon$ to tvrdenie budes potrebovat pre vsetky $\epsilon$
2) limita $\rho(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_m)$ ta nezaujima - je pravda, ze pre Cauchyovsku postupnost je to trivialne nula, ale z toho nic nevyplyva ty potrebujes limitu postupnosti $\mathbf{x}_n$ , ktora vo vseobecnosti nie je nula.

hint: ak je postupnost $\mathbf{x}_n$ Cauchyovska co vies povedat o postupnosti $x_{n1}$ ?

adjamot · 08. 12. 2012 09:42

↑ Brano:

k 2. kroku limitu posloupností $x_{n}$ číselně znát (taky) nepotřebuju, stačí ukázat, že konverguje....ukázal jsem, že konverguje k $x_{m}$

nebo toto nestačí?

Brano · 08. 12. 2012 21:56 — Editoval Brano (09. 12. 2012 00:45)

Nie nedokazal - totizto $x_m$ nie je jedna hodnota ku ktorej by konvergovala. Principialne tu limitu nepotrebujes, ale nenapada ma ako by sa ukazala konvergencia bez toho aby si tu limitu v tomto pripade aj nasiel - pricom najst ju nieje az take tazke. To co si konstatoval, je ze limita $\lim_{n\to\infty\ m\to\infty}\rho(x_n,x_m)=0$ co je v podstate trivialny dosledok Cauchyovskosti ale o konvergentnosti $x_n$ to moc nehovori. Cize ty potrebujest najst take $x$ , ze $\rho(x_n,x)\to 0$ .

Skus takto: Ak je $x_n=(x_{n1},x_{n2},...)$ Cauchyovska dokaz ze potom existuje $n_1$ take, ze pre lubovolne $n\ge n_1$ plati $x_{n1}=x_{n_11}$ .

potom to zovseobecni pre $x_{nk}$ .

adjamot

↑ Brano:

ja pa to?
ukázal jsem $\rho(\textbf{x}_{n},\textbf{x}_{m})\rightarrow 0$
použiju ekvivalentní vyjádření $\rho(\textbf{x}_{n},\textbf{x}_{m})\rightarrow 0\Leftrightarrow \textbf{x}_{n}\rightarrow \textbf{x}_{m}$ .
Tedy $\textbf{x}_{n}$ konverguje (a to k $\textbf{x}_{m}$ ).

Brano · 09. 12. 2012 19:07 — Editoval Brano (09. 12. 2012 19:30)

↑ adjamot:
tie dve vrdenia nie su ekvivalentne, lebo to druhe $\textbf{x}_{n}\rightarrow \textbf{x}_{m}$ je nezmysel.
$x_n$ je postupnost v $X$ aj $x_m$ je postupnost v $X$ ; nemoze postupnost konvergovat k POSTUPNOSTI - postupnost moze konvergovat k BODU z $X$ .

Teba zrejme myli to, ze si nepises pri konvergencii ze ako zavisi od indexov. Urcite vo vseobecnosti neplati $\lim_{n\to\infty}\rho(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_m)=0$ ale plati $\lim_{n\to\infty\ m\to\infty}\rho(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_m)=0$

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2012 21:36

Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#2 06. 12. 2012 22:00

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#3 06. 12. 2012 22:11 — Editoval adjamot (06. 12. 2012 22:13)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#4 06. 12. 2012 22:22

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#5 06. 12. 2012 22:36

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#6 06. 12. 2012 22:43

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#7 06. 12. 2012 22:45 — Editoval jarrro (06. 12. 2012 22:55)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#8 06. 12. 2012 22:56

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#9 06. 12. 2012 23:00

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#10 06. 12. 2012 23:03 — Editoval jarrro (06. 12. 2012 23:04)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#11 06. 12. 2012 23:06

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#12 06. 12. 2012 23:10

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#13 06. 12. 2012 23:11 — Editoval jarrro (06. 12. 2012 23:18)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

adjamot napsal(a):

#14 07. 12. 2012 11:00

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#15 07. 12. 2012 12:49 — Editoval adjamot (07. 12. 2012 12:50)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#16 07. 12. 2012 14:26

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#17 07. 12. 2012 14:59

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#18 07. 12. 2012 16:49

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

adjamot napsal(a):

#19 07. 12. 2012 17:58

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#20 07. 12. 2012 20:13

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#21 07. 12. 2012 22:59 — Editoval Brano (07. 12. 2012 23:00)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#22 08. 12. 2012 09:42

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#23 08. 12. 2012 21:56 — Editoval Brano (09. 12. 2012 00:45)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#24 09. 12. 2012 12:04 — Editoval adjamot (09. 12. 2012 12:15)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

#25 09. 12. 2012 19:07 — Editoval Brano (09. 12. 2012 19:30)

Re: Úvod do funkcionální analýzy III důkaz úplnosti prostoru.

Zápatí