Matematické Fórum

niko9 · 06. 12. 2012 21:57

zdravím potřeboval bych poradit jak by měl správně vypadat výsedek tohoto příkladu..jak vypadá funkce průběh arctg vím, ale v sešitě jsem našel výsledek $\frac{3}{4}\pi +\varepsilon \pi , \varepsilon \in Z$ , což absolutně nechápu... normálně bych tam zapsal $arctg(-1)=-\frac{\pi }{4}$ .. děkuji za pomoc
můj postup:
$\lim_{x\to0}arctg(2x-1) \Rightarrow \lim_{x\to0}(2x-1)=-1$

$\lim_{y\to(-1)}arctg(y)= ?$

Marian · 14. 07. 2013 12:02

↑ niko9:

Inverzní funkce k funkcím, které jsou periodické, lze hledat na libovolném intervalu (nebo jiné množině, která nemusí být nutně intervalem), kde je funkce invertibilní. U funkce tangens máme tedy k dispozici nejen pouze základní interval $(-\pi /2,\pi /2)$ , ale také i jeho libovolnou "kopii" posunutou o celočíselný násobek hodnoty $\pi$ , např. $\varepsilon \pi$ , kde $\varepsilon\in\mathbb{Z}$ . Označme inverzní funkci k funkci $f(x)=\tan (x)$ na intervalu $I_\varepsilon:=(-\pi /2+\varepsilon\pi,\pi /2+\varepsilon\pi)$ , $\varepsilon\in\mathbb{Z}$ , symbolem $\arctan_{[\varepsilon]}(x)$ . Tedy vlastně pro "klasický" arkustangens je při naší notaci možno psát $\arctan (x)\equiv\arctan_{[0]}(x)$ . Podobně, pro $\varepsilon\neq 0$ lze nalézt snadno vztah $\arctan_{[\varepsilon]}(x)=\varepsilon\pi +\arctan_{[0]}(x)=\varepsilon\pi +\arctan (x)$ .

Tady se konečně ukazuje, proč je patrně výsledek uveden ve tvaru, který avizuješ. Ale při výpočtu dané úlohy je třeba v pedagogem doporučené literatuře najít definici funkce inverzní k funkci tangens. Pokud se vychází ze "základního" intervalu $(-\pi/2,\pi/2)$ , je jediný správný výsledek tebou uvedený a forma výsledku s uvedeným epsilon je potom nesprávná. Je-li však provedena podrobnější diskuse o inverzních funkcích (ve smyslu diskuse o intervalu, na němž je určována inverzní funkce k funkci tangens), bylo by vhodné označit funkci arkustangens jinak, a to tak, aby jasně bylo vidět, kterou kopii "základního" intervalu míníme (viz můj návrh výše).

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2012 21:57

limita

#2 14. 07. 2013 12:02

Re: limita

Zápatí