Matematické Fórum

pavelk · 07. 12. 2012 19:33 — Editoval pavelk (07. 12. 2012 21:13)

Dobry den
Chtel bych se zeptat, zda muj postup/reseni je spravne.

Zadani:
Najdete reseni Cauchyovy ulohy:
$y'_1 = y_1 + y_2 + y_3$
$y'_2 = y_1 - y_2 + y_3$
$y'_3 = y_1 + y_2 - y_3$

$y_1(0) = 0, y_2(0)=0,y_3(0)=2$

Muj postup:
Spocitam si determinant charakteristicke matice $A-\lambda E$ , vyjde mi:
$-(\lambda -2)(\lambda +1)(\lambda +2)$

Kdyz polozim $det(A-\lambda E)= 0$ pak vlastni cisla jsou:
$\lambda_1=2$
$\lambda_2=-1$
$\lambda_3=-2$

Spocitam vlastni vektory pro kazde vlastni cislo:
Pro $\lambda_1=2: x=2, y=1, z=1$
Pro $\lambda_2=-1: x=1, y=-1, z=-1$
Pro $\lambda_3=-2: x=0, y=1, z=-1$

DOTAZ: Nasel jsem tech reseni/vektoru vice, nez jsem napsal, je problem, kdyz napisu jen jedno z nich, napr. to co jsem uvedl?

Reseni LDR:
1. $y=e^{2x}[2;1;1]$
2. $y=e^{-x}[1;-1;-1]$
3. $y=e^{-2x}[0;1;-1]$

DOTAZ 2: Delam spravne, ze umocnuji e na vlastni cislo * x, muze mi nekdo vysvetlit proc to tak je? Asi to ma neco spolecneho s logaritmem..?

Obecne reseni: $y=C_1\mathrm{e}^{2x}[2;1;1] + C_3\mathrm{e}^{-x}[1;-1;-1] + C_3\mathrm{e}^{-2x}[0;1;-1] ; C_1,C_2,C_3 \in \mathbb{R}$

Reseni cauchyovy ulohy:
$y'_1 = 2C_1\mathrm{e}^{0} + C_2\mathrm{e}^{0} + C_3\mathrm{e}^{0}0 = 0$
$y'_2 = C_1\mathrm{e}^{0} - C_2\mathrm{e}^{0} + C_3\mathrm{e}^{0} = 0$
$y'_3 = C_1\mathrm{e}^{0} - C_2\mathrm{e}^{0} - C_3\mathrm{e}^{0} = 2$

Vypocitam soustavu rovnic a vyjdou mi jednotlive C.
Ty nakonec dosadim do obecneho reseni a vyjdou mi $y_1, y_2, y_3$

C=[1/3;-2/3;-1]

Reseni ulohy:
$y_1 = \frac{2}{3}\mathrm{e}^{2x} - \frac{2}{3}\mathrm{e}^{-x}$
$y_2 = \frac{1}{3}\mathrm{e}^{2x} - \frac{2}{3}\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-2x}$
$y_3 = \frac{1}{3}\mathrm{e}^{2x} + \frac{2}{3}\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-2x}$

Dekuji