Matematické Fórum

byk7 · 08. 12. 2012 10:58 — Editoval byk7 (12. 02. 2013 16:21)

Jsou dána dvě čísla $m,n\in\mathbb{N},$ množina $S:=\{1,2,\ldots,n\}$ a posloupnost $$a_i$_{i=1}^m$ tak, že její členy jsou různé prvky $S$ . Dále platí, že pro každá dvě přirozená $i,j$ splňující $a_i+a_j\le n,$ potom existuje přirozené číslo $k\le m$ takové, že $a_k=a_i+a_j.$ Dokažte, že platí nerovnost $\sum_{i=1}^m a_i\ge\frac12m(n+1)$ .

check_drummer · 15. 01. 2013 20:55

↑ byk7:
Ahoj, byla by nějaká nápaověda? Např. indukce, apod. Díky. :-)

byk7 · 15. 01. 2013 21:03

↑ check_drummer:

hmm, těžko říct, to řešení je celkem krátké a vyseparovat z toho nějakou nápovědu bude těžké, ještě dám vědět

check_drummer · 16. 01. 2013 22:20

↑ byk7:
Já jsem si zatím jen všiml toho (ekvivaletní formulace tvrzení), že průměr všech čísel ai je větší než "prostřední" číslo z S (tj. (n+1)/2).

check_drummer · 29. 01. 2013 19:06

↑ byk7:
Ahoj,
volím m=3, n=6, a1=2,a2=3,a3=5 a pro ně nerovnost neplatí. Není chyba v zadání?

byk7 · 30. 01. 2013 09:02

↑ check_drummer:

teda, tím si mi nasadil brouka do hlavy

originální zadání (z hodiny) Zobrazit/skrýt!

originální zadání (zdroj) Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 31. 01. 2013 20:24

↑ byk7:
Ahoj, a kde v tom originálním zdroji prosím najdu zadání? Je tam mnoho odkazů pro mnoho let a mnoho zemí...
Jinak tu mou úvahu lze zobecnit na a1:=k,a2:=k+1,a3:=2k+1,n:=3k,m:=3.

byk7 · 31. 01. 2013 20:43

↑ check_drummer:

ach jo... zapomněl jsem tam dát ročník (1994)

anes · 01. 02. 2013 13:35

Ahoj, (snad jediný) problém je tady:

pro každá dvě přirozená, různá $i,j$

To slovo různá se tam asi nemělo vloudit. V původním zadání je

(pro každá) $i,j$ , $1 \leq i \leq j \leq m$

To už není problém dokázat (aspoň ve srovnání s tím tvrzením, které neplatilo :) ). Pokud budu mít čas a něco se tu do té doby neobjeví, tak svůj důkaz dodám.

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2012 10:58 — Editoval byk7 (12. 02. 2013 16:21)

Množina, posloupnost a odhad

#2 08. 12. 2012 18:08 Příspěvek uživatele petrkovar byl skryt uživatelem byk7. Důvod: vyřešeno

#3 08. 12. 2012 19:12 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7. Důvod: vyřešeno

#4 15. 01. 2013 20:55

Re: Množina, posloupnost a odhad

#5 15. 01. 2013 21:03

Re: Množina, posloupnost a odhad

#6 16. 01. 2013 22:20

Re: Množina, posloupnost a odhad

#7 29. 01. 2013 19:06

Re: Množina, posloupnost a odhad

#8 30. 01. 2013 09:02

Re: Množina, posloupnost a odhad

#9 31. 01. 2013 20:24

Re: Množina, posloupnost a odhad

#10 31. 01. 2013 20:43

Re: Množina, posloupnost a odhad

#11 01. 02. 2013 13:35

Re: Množina, posloupnost a odhad

Zápatí