Matematické Fórum

N3st4 · 08. 12. 2012 19:01

Dobrý deň. potreboval by som pomôcť s dôkazom. Mám tam jedno miesto, cez kt. sa neviem prehupnúť. Vopred ďakujem.

Veta: Nech f,g : A $\Rightarrow$ $\mathbb{R}$ , kde $A\subseteq \mathbb{R}^{n}$ je otvorená množina. Ďalej
predpokladajme, že f a g sú úplne diferencovateľné. Potom fg je tiež úplne diferencovateľná a platí:
$(D(fg))(x_{0})=g(x_{0})(Df)(x_{0})+f(x_{0})(Dg)(x_{0})$

Pod D rozumieme gradient.

Dôkaz:

Chcem dokázať, že pre $\parallel x-x_{0}\parallel <\delta$
$\frac{\parallel (fg)(x)-(fg)(x_{0}) -(D(fg))(x_{0})\cdot (x-x_{0})\parallel }{\parallel x-x_{0}\parallel }<\varepsilon$

Najskôr sa pozriem, čo je ten gradient.
$(D(fg))(x_{0})=(Df)(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot (Dg)(x_{0})$
To vidno po rozpísaní a prevedení do analýzy jednej reálnej premennej.
Teda ak je fg úplne diferencovateľná platí tento vzťah.

Zatiaľ budem vynechávať menovateľ.
$\parallel f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})-g(x_{0})\cdot (Df)(x_{0})\cdot (x-x_{0})-f(x_{0})\cdot (Dg)(x_{0})\cdot (x-x_{0})\parallel$

Medzi to vsuniem $\mp g(x)f(x_{0})$
Po úprave dostanem niečo takéto (menovateľ vynechávam)
$\parallel g(x)\cdot [f(x)-f(x_{0})-(Df)(x_{0})\cdot (x-x_{0})]+$
$+f(x)\cdot [g(x)-g(x_{0})-(Dg)(x_{0})\cdot (x-x_{0})]\parallel$
Keď tam nahodím menovateľa, vidím že hranaté zátvorky idú k nule (spolu s menovatelom), ale nevidím, že to ide celé k nule, pretože neviem ohraničiť f(x) a g(x). Nejaký nápad ako to ošetriť?

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2012 19:01

Dôkaz; derivácia súčinu v E^n

Zápatí