Matematické Fórum

ajeto · 08. 12. 2012 20:08 — Editoval ajeto (12. 12. 2012 18:42)

Dobrý večer,

riešim nasledujúce:

operátor $A:l^2 \rightarrow l^2$ je daný predpisom
$Ax=(x_1+x_2, 0, x_3+x_4,0,\dots)$ . ( $l^2$ je komplexný so skalárnym súčinom $\langle x,y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty}x_n \bar{y_n}$ )

nájdite normu $\|A+I\|$ ( $I$ je identita na $l^2$ )

zatiaľ som nedospel veľmi k ničomu, ocením radu

viem že sa hľadá $\sup_{\|x\|=1}\|(A+I)x\|$ ale nejak sa mi to nedarí ohraničiť

vďaka

ajeto · 13. 12. 2012 01:49

↑ ajeto:

zatiaľ som prišiel k tomu:

$\|(A+I)x\|\leq \|Ax\|+\|Ix\|=\|Ax\|+1\|x\|$

$\| Ax\|^2=|x_1+x_2|^2+|x_3+x_4|^2+\dots\leq (|x_1|+|x_2|)^2+(|x_3|+|x_4|)^2+\dots=$

$=|x_1|^2+2|x_1||x_2|+|x_2|^2+|x_3|^2+2|x_3||x_4|+|x_4|^2+\dots=$

$=\|x\|^2+2|x_1||x_2|+2|x_3||x_4|+\dots\leq \|x\|^2+(|x_1|^2+|x_2|^2)+(|x_3|^2+|x_4|^2)+\dots=$
$=2\|x\|^2$

z toho mám $\|Ax\|\leq \sqrt{2}\|x\|$

a potom $\|(A+I)x\|\leq (\sqrt{2}+1)\|x\|$

menšie číslo som z toho nevytrieskal ale ak je číslo $\sqrt{2}+1$ norma operátora $A+I$ ,
potom neviem nájsť vektor $x$ taký že $\| (A+I)x\|=(\sqrt{2}+1)\|x\|$ .

Poradí niekto ako z toho?

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2012 20:08 — Editoval ajeto (12. 12. 2012 18:42)

lineárny operátor

#2 12. 12. 2012 22:09 Příspěvek uživatele ajeto byl skryt uživatelem ajeto.

#3 13. 12. 2012 01:49

Re: lineárny operátor

Zápatí