Matematické Fórum

Vaclav · 08. 12. 2008 14:37

Pomůže mi někdo s tímto příkladem?
Mám vypočítat deset takovýchto příkladů, ale jsou všechny podobné.
Stačí mi pomoct s jedním a já to pak už nějak spáchám. Jde mi hlavně o to jak udělat tu transformaci, dál už bych snad měl vědět, jak se počítá cauchyova úloha.

pomocí laplaceovy transformace najdi řešení cauchyovy ulohy

x'' + 4x = 2 cos(^2) * t
x(0) = 0
x'(0) = 0

Pavel Brožek · 15. 11. 2009 15:56

Podle tabulky (http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_tr … d_theorems) levou stranu:

$\mathcal{L}$x''(t)+4x(t)$=s^2X(s)-sx(0)-x'(0)+4X(s)=(s^2+4)X(s)$

a pravou stranu:

$\mathcal{L}$2\cos^2t$=\mathcal{L}$2\(\frac{1+\cos 2t}{2}$\)=\mathcal{L}$1+\cos 2t$=\nl =\mathcal{L}(1)+\mathcal{L}(\cos 2t)=\frac1s+\frac{s}{s^2+4}$

Vyjádříme $X(s)$ :

$X(s)=\frac{1}{s^2+4}$\frac1s+\frac{s}{s^2+4}$=\frac14\cdot\frac1s-\frac14\cdot\frac{s}{s^2+4}+\frac{s}{(s^2+4)^2}$

$x(t)=\mathcal{L}^{-1}(X(s))(t)=\frac14-\frac14\cos(2t)+\frac{1}{4}t\sin(2t)$

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2008 14:37

cauchyova uloha

#2 15. 11. 2009 15:56

Re: cauchyova uloha

Zápatí