Matematické Fórum

Grimo · 08. 12. 2008 15:30

Neviem si poradit s touto ulohou.
A = <0,1>
B = (0,1)
Mam zistit ci |A| = |B|.
Intutivne by som povedal ,ze ano. Hladal som nejaku bijekciu z A do B no nepodarilo sa mi to. Este skusim riesenie podla Cantor-Berstein. vety.

Pavel · 08. 12. 2008 17:00

↑ Grimo:

Racionální čísla náležící do intervalu <0,1> tvoří spočetnou množinu, tudíž je lze uspořádat do posloupnosti, např. podle vzrůstajícího jmenovatele:

$\frac 01\,,\frac 11\,,\frac 12\,,\frac 13\,,\frac 23\,,\frac 14\,,\frac 34\,,\frac 15\,,\frac 25\,,\frac 35\,,\frac 45\,,\frac 16\,,\frac 56\,,\ \ldots$

Označme tuto posloupnost $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ .

Definujme funkci f takto:

$f: A\right B\nl f(x)= \begin{cases} x&,\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\nl x_{k+2}&,\qquad x\in\mathbb{Q},\ \exists k\in\mathbb{N}\,:\, x=x_k \end{cases}$

Lehce se ukáže, že f je injektivní a $f(A)=B$ .

Pavel Brožek · 08. 12. 2008 17:46

↑ Grimo:

Jen doplním (pokud by tě to zajímalo), že se podobný problém řešil v Prázdninové injekci, nakonec se to vyřešilo tak, jak uvádí ↑ Pavel:.

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2008 15:30

Mohutnost dvoch Intervalov.

#2 08. 12. 2008 17:00

Re: Mohutnost dvoch Intervalov.

#3 08. 12. 2008 17:46

Re: Mohutnost dvoch Intervalov.

Zápatí