Matematické Fórum

SMu · 09. 12. 2012 18:30

Ahoj, počítala jsem úlohu
Na kolik částí rozdělí prostor n rovin v obecné poloze?
A došla jsem k tomu, že počet částí r(n) na které je prostor rozdělen n rovinami je
r(n) = r(o) + 2+4+7+11 +16 +....+ $\frac{{n^{2}+n +2}}{2}$ a nevím jak sečíst řadu $\Sigma \frac{{n^{2}+n +2}}{2}$ . Poradí mi prosím někdo?

user · 09. 12. 2012 18:50

Ahoj, pokud jde o konečný součet, tak bych použil linearitu sčítání a rozdělil to na jednotlivé sumy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ještě doporučuji dát pozor na zápis, aby bylo jasné co je sčítací index. Je zadání?
$\sum_{i=0}^n\frac{i^2+i+2}{2}$

SMu · 09. 12. 2012 19:03 — Editoval SMu (09. 12. 2012 19:46)

$\frac{1}{2}[\sum_{i=1}^{n}i^{2} + \sum_{i=1}^{n} i +\sum_{i=1}^{n}2 ]$
pak $\sum_{i=1}^{n}i^{2} = ?$
$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n\cdot (n+1)}{2}$
$\sum_{i=1}^{n}2 =2$
Nevím zda to mám dobře a s tím prvním si nevím rady.

user · 09. 12. 2012 19:28 — Editoval user (09. 12. 2012 19:29)

v součtu konstant máš chybu.
Součet $\sum_{i=1}^{n}i^{2}$ už tady na fóru určitě někde je, tak ho zkus najít. dá se odvodit buď pomocí rekurence:
$s_n=\sum_{i=1}^{n}i^{2}$
a řešit rovnici
$s_{n+1}-s_n=\sum_{i=1}^{n+1}i^{2}-\sum_{i=1}^{n}i^{2} =(n+1)^2$

Nebo rozepsáním a posunutím indexů $\sum_{i=1}^{n}(i+1)^{2}$ , čímž se dá dospět k rovnici pro $\sum_{i=1}^{n}i^{2}$ v závislosti na předchozích sumách.

SMu · 09. 12. 2012 19:49 — Editoval SMu (09. 12. 2012 19:53)

Už jsem to našla, moc děkuji

$\sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
děkuji, sama bych na to odvození nepřišla

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n\cdot (n+1)}{2}$

$a součet konstant by měl být$ $\sum_{i=1}^{n}2 =2n$ $
Je to tím, že sčítám až do n?