Matematické Fórum

ttomas59 · 11. 12. 2012 18:54

Zdravim chcel by som poradit s niekolkymi prikladmi.

Existuje funkcia ktorá bude rydzorastuca a bude mat nekonecne vela bodov kedy bude derivacia rovna nule ? ak ano prosim poradte priklad :)

ako vypocitam limitu ked x ide k nule ( 1/(1-cos x) - 2/x^2 ) ...treba tam pouzit L`hospitalovo pravidlo ....ak by sa dalo tak prosim aj celz postup

a podobny priklad s vuzitim L`hospitalovho pravidla ...vypocitat limitu ked x ide k nekonecnu (1/(x^2) -1/ sin^2 x) .... ak by sa dalo tak tiez prosim postup

Bati · 11. 12. 2012 19:02 — Editoval Bati (13. 12. 2012 08:43)

Ahoj,
k tomu prvnímu: pokud je nějaký bod, ve kterém derivace dané funkce existuje a je nulová, pak z definice derivace plyne, že ta funkce je definovaná v nějakém okolí toho bodu, na kterém bude ryze rostoucí, z čehož plyne spor.

Edit: Blbost.

K tomu ostatnímu: založ na to témata zvlášť.

ttomas59 · 11. 12. 2012 22:44

ked mas funkciu dajme tomu y=x^3 .....derivacia sa rovna nule iba v bode nula ....a je rydzorastuca ....no najst taku funkci aby sa dervacie rovnali nule v nekonecne vela bodoch neviem ci je mozne ....napadla ma funkcia tangens ...no ta nie je spojita a to je myslim problem....existuje nejake ine riesenie ?

hujik · 12. 12. 2012 01:18 — Editoval hujik (12. 12. 2012 01:45)

↑ Bati:

Priznam se, ze Vasi argumentaci prilis nerozumim.

1) Predpokladam, ze jste se prepsal. Myslim, ze jste chtel rict, ze existuje okoli, kde bude dana funkce ryze klesajici, protoze takhle tam zadny spor s pozadovanymi vlastnostmi nevidim.

2) Napriklad funkce $f(x)=const$ ma derivaci rovnou nule v kazdem bode definicniho oboru, nicmene neexistuje zadna podmnozina definicniho oboru, na ktere by tato funkce byla ryze monotonni.

↑ ttomas59:

1) Zabyvat se funkci $f(x)=\tan (x)$ neni dobry napad. Problemem ale neni, ze neni spojita, nebot tuto vlastnost v pozadavcich na danou funkci nemate (dokonce tam ani nemate, ze by musela byt definovana na $\mathbb{R}$ ). Problemem je zejmena to, ze tato funkce nema derivaci v zadnem bode rovnou nule. Navic, pokud byste funkci uvazoval na celem $\mathbb{R}$ (krome bodu nespojitosti), tak neni ani monotonni.

2) Zabyvat se funkci $f(x)=x^{3}$ je dobry napad. Pomoci teto funkce hledanou funkci snadno vytvorite (dokonce i diferencovatelnou na celem $\mathbb{R}$ ). Pomuze, kdyz poradim, ze funkce
$f(x)=\begin{cases} x^{3} ,& x \in \left( -1,1 \right] \\ x^{3} -6x^{2} + 12x-6 ,& x \in \left( 1,3 \right] \end{cases}$
je ryze rostouci na intervalu $\left( -1,3 \right]$ a ma derivace rovne nule v bodech $x_{1}=0$ a $x_{2}=2$ ? Analogickym zpusobem byste mohl vyuzit napriklad funkce $f(x)=\sin (x)$ .