Matematické Fórum

dobes.pavel · 17. 12. 2012 18:58

Mám vypočítat délku kardioidy pomocí krivkového integrálu
$x=2a\cdot cost-a\cdot cos2t$
$y=2a\cdot sint-a\cdot sin2t$
pro:
$a>0$

Nevím si rady se sestavením diferenciálu ds

Prosím o radu (nejlépe, když mi ten diferenciál vypočtaáte)

Díky za odpověď

Rumburak · 18. 12. 2012 10:53

Vzorec je

$\mathrm{d}s = \sqrt{$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$^2 + $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$^2} \mathrm{d}t$ ,

stačí do něj dosadit a pak provést nějakou zjednodušující úpravu.

dobes.pavel · 18. 12. 2012 16:25

jasně, takhle jsem si to už sestavil, problém ovšem je v těch následných úpravách
pořád to nedokážu zjednodušit

Rumburak · 18. 12. 2012 17:12

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$^2 + $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$^2 = (-2a \sin t + 2a \sin 2t)^2 + (2a \cos t - 2a \cos 2t)^2 = \\ = 4a^2(\sin^2 t -2 \sin t \sin 2t + \sin^2 2t + \cos^2 t -2 \cos t \cos 2t + \cos^2 2t) = \\= 4a^2(2 -2 \sin t \sin 2t -2 \cos t \cos 2t) = 8a^2(1 - \cos t)=16a^2 \sin^2 \frac{t}{2}$

Použito m.j.: $\cos t = \cos (2t - t) = \cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t$ .

dobes.pavel · 18. 12. 2012 19:10

Díky moc
hodně mi to pomohlo
na ten vzorec, jenž uvádíš, bych v životě nepřišel, protože ho vůbec neznám

Rumburak · 19. 12. 2012 09:39

↑ dobes.pavel:

Ale tento vzorec

$\cos (x \mp y) = \cos x \cos y \pm \sin x \sin y$

jsi možná už někde viděl . :-)

dobes.pavel · 19. 12. 2012 18:39

asi viděl, ale taky by mě ho nenapadlo použít
každopádně díky za radu

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2012 18:58

Délka křivky pomocí integrálu

#2 18. 12. 2012 10:53

Re: Délka křivky pomocí integrálu

#3 18. 12. 2012 16:25

Re: Délka křivky pomocí integrálu

#4 18. 12. 2012 17:12

Re: Délka křivky pomocí integrálu

#5 18. 12. 2012 19:10

Re: Délka křivky pomocí integrálu

#6 19. 12. 2012 09:39

Re: Délka křivky pomocí integrálu

#7 19. 12. 2012 18:39

Re: Délka křivky pomocí integrálu

Zápatí