Matematické Fórum

Natálie · 21. 12. 2012 17:23

Dobrý den, chtěla bych poradit s výpočtem určitého integrálu $\int_{0}^{pi}-e^{x}\cdot \frac{sin^{2}x}{2}dx$ = $-\frac{1}{2}\int_{0}^{pi}e^{x}\cdot sin^{2}x dx$ . Dále jsem přemýšlela nad per partes.. výsledek by měl vyjít ( $\frac{1}{5}(1-e^{pi})$

unga · 21. 12. 2012 18:19 — Editoval unga (21. 12. 2012 18:39)

Prvním PP se zbavíš mocniny a pak získáš integrál, u nějž opakováním PP dostaneš nakonec stejný integrál a z toho ti vyjde výsledek. Celkem PP tedy provedeš třikrát, důležité je pak jednou vytknout mínut u sin nebo cos, abys nemusel opakovat celý cyklus derivací, než se integrál dostane do původní podoby.

Natálie · 21. 12. 2012 18:46

Bylo by možné napsat jak mám PP volit? Co dosadit za U a V

user · 21. 12. 2012 19:21

Ahoj,
v prvním kroku zderivovat $\sin ^2x$ , aby jsi snížila mozninu, jak psal kolega. V dalším integrálu je to jedno, akorát musíš vždy derivovat tu "samou část integrálu". Neprovést derivaci $e^x$ a v dalším kroku integraci $e^x$ .

Natálie · 21. 12. 2012 19:41

Už jsem z toho zmatená $-\frac{1}{2}\int_{0}^{pi}e^{x}\cdot sin^{2}x dx$ ,
$u=sin^{2}x u'=2cos(x)sin(x)$
$v=v'=e^{x}$
$-\frac{1}{2}e^{x}\cdot sin^{2}x+\int_{0}^{pi}e^{x}\cdot sin(x)\cdot cos(x)$ , a pak co za PP? u=cos(x)sin(x)?

kaja.marik · 21. 12. 2012 20:07

sin^2(x) napsat jako (1-cos(2x))/2, potom rozdelit na ddva integraly, ten prvni bude z exponencialni funkce a da se napsat rovnou, ten druhy bude ze soucinu exp(x) a cos(2x) a to je nadvakrat metodou per partes a prevodem na rovnici.

Anebo vyjdete z toho co mate, napiste sin(x)*cos(x) jako 1/2*sin(2x) a potom zase nadvakrat metoda per partes.

Natálie · 21. 12. 2012 20:18

ano, už to mám, děkuji

Tomas.P · 21. 12. 2012 20:35

↑ Natálie:
Per partes:
$u=sin^2(x), v'=e^x$
$u'=sin(2x), v=e^x$
Platí:
$uv-{\int}u'v$
${\int}sin(2x)e^x$ můžeš řešit pomocí tabulkového integrálu: ${\int}sin(ax)e^{bx}dx$ (viz. Products of functions...).