Matematické Fórum

nhoj · 23. 12. 2012 20:26

Ahoj, potřebovala bych prosím pomoct s následujícím příkladem.

Nevím jak mám vypočítat vlastní vektory této matice: $411$
$241$
$014$

Vlastní čísla této matice jsou:
$x_{1}=x_{2}=3$
$x_{3}=6$

standyk

↑ nhoj:

Ahoj, tak do jednoducho dosaď:
$(A - \lambda_1 I) \cdot \vec{c} = 0$
Dostaneš nejakú sústavu rovníc z ktorej si vyjadríš jednotlivé zložky vektora c. Potom možeš ešte výsledný vektor normalizovať ( $c_1^2 + c_2^2+c_3^2 = 1$ ) Dostaneš tak normalizovaný vlastný vektor matice A odpovedajúci vlastnému číslu $\lambda_1$

nhoj · 23. 12. 2012 20:38

A co bych měla dosadit za to I?

standyk

↑ nhoj:

I je jednotková matica.
$\begin{pmatrix} 4- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = A - \lambda I$
KeĎ chceš teda počítať vlastné vektory prislúchajúce číslu $\lambda_1 = 3$ tak číslo 3 dosadíš do tej matice hore.

nhoj · 23. 12. 2012 20:56

To ano, takže dostanu matici: 1 1 1
2 1 1
0 1 1

a dál to budu upravovat nebo si z toho mám vyjádřit rovnice?

standyk · 23. 12. 2012 21:05

↑ nhoj:

Potrebuješ nájsť taký vektor c (to bude ten vlastný vektor) aby platilo:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}=0$
Nakoniec môžeš daný vektor normalizovať, tak aby platilo $c_1^2 + c_2^2+c_3^2 = 1$

nhoj · 23. 12. 2012 21:17 — Editoval nhoj (23. 12. 2012 21:18)

A mohla bych Tě poprosit, že bys mi napsal postup při dosazení: $\lambda _{3} = 6$

standyk · 23. 12. 2012 21:31

↑ nhoj:

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}=0$
Riešiš sústavu 3 rovníc o troch neznámych, kde TI vyjde nejaký výsledok s parametrom(nekonečne veľa riešení).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nhoj · 23. 12. 2012 21:42

Ještě mi není moc jasné, z čeho jsi vypočítal hodnotu $\frac{3}{2}$ ?

standyk · 23. 12. 2012 22:57

↑ nhoj:

Dostaneš sústavu:
$\begin{array}{l l l} -2c_1 + \,\,\, c_2 + \,\,\, c_3 = 0 \qquad (1) \\ \,\,\,\,\, 2c_1 -2c_2 + \,\,\, c_3 = 0 \qquad (2) \\ \qquad \qquad c_2 - 2c_3 = 0 \qquad (3) \end{array}$
$(1) + (2) \qquad \Rightarrow \qquad c_2 = 2c_3$
A keď to dosadíš do druhej rovnice dostaneš:
$2c_1 - 4c_3 + c_3 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad c_1 = \frac32c_3$

nhoj · 25. 12. 2012 09:40

Opravdu děkuji, moc jsi mi pomohl!

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2012 20:26

Vlastní vektory matice

#2 23. 12. 2012 20:34 — Editoval standyk (23. 12. 2012 20:34)

Re: Vlastní vektory matice

#3 23. 12. 2012 20:38

Re: Vlastní vektory matice

#4 23. 12. 2012 20:48 — Editoval standyk (23. 12. 2012 20:49)

Re: Vlastní vektory matice

#5 23. 12. 2012 20:56

Re: Vlastní vektory matice

#6 23. 12. 2012 21:05

Re: Vlastní vektory matice

#7 23. 12. 2012 21:17 — Editoval nhoj (23. 12. 2012 21:18)

Re: Vlastní vektory matice

#8 23. 12. 2012 21:31

Re: Vlastní vektory matice

#9 23. 12. 2012 21:42

Re: Vlastní vektory matice

#10 23. 12. 2012 22:57

Re: Vlastní vektory matice

#11 25. 12. 2012 09:40

Re: Vlastní vektory matice

Zápatí