Matematické Fórum

Anonymystik · 24. 12. 2012 23:00

Zdravím a přeji všem pěkné prožití Vánočních svátků. Nedávno jsem učil svoji malou sestru malou násobilku. Mimo jiné mi padla do ruky i tabulka, kde byly vypsány všechny součiny tvaru m*n, kde m, n byla přirozená čísla v rozmezí 1 až 10. To mě inspirovalo k vymyšlení následující úlohy, kteroužto jsem se rozhodl zveřenit při příležitosti Vánoc:
Uvažme obecně tabulku násobení n krát n, kde budou vypsány postupně všechny součiny dvou čísel od 1 do n. Např. pro n=5 by tabulka vypadala takto:
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25
Ukažte, že součet všech čísel v tabulce n krát n je roven výrazu $1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3}$ . Např. součet všech čísel v naší tabulce 5 krát 5 je roven $1^{3} + 2^{3} + ... + 5^{3} = 225$ . Takže přeju hezké Vánoce a doufám, že se úloha bude líbit.