Matematické Fórum

Sajmon9114 · 27. 12. 2012 10:37

Ahoj, nevím si rady výpočtem následující limity posloupnosti: $\lim_{n\to\infty }[(n^7+3)^8-(n^8+2)^7-24(n^7+1)^7]\cdot [(1+\frac{1}{16n^6})^8-(1+\frac{1}{18n^8})^6]^8$ . Šel bych na to nějak přes vytknutí nejrychleji rostoucího členu, ale nevím, co mám dělat s tou druhou hranatou závorkou. Byl byste někdo tak ochotný a poradil mi? :)

Rumburak · 27. 12. 2012 11:27

Ahoj.
Nejjístější, i když poněkud pracné, bude nejprve pomocí binomické věty vyjádřit v obou hranatých závorkách
ty mocniny dvojčlenů a pak tam sloučit, abychom se zbavili nepříjemných rozdílů.
Takto vzniklý výraz dále převedeme na podíl dvou polynomů v proměnné $n$ a pak už asi budeš vědět, co s tím.

Sajmon9114 · 27. 12. 2012 13:35

↑ Rumburak: Myslel jsem si právě, že bude nějaký jednodušší způsob, protože kdybych to měl roznásobovat přes binomickou větu, bylo by to dost náročné :/ Zkusil jsem jenom třeba tu druhou hranatou závorku:

a vyšlo to takhle, což je pak i problém nějak upravit, natož třeba ještě umocnit na osmou. Ale asi jste to myslel jinak, pravděpodobně jsem to špatně pochopil :D

Bati · 27. 12. 2012 15:33 — Editoval Bati (27. 12. 2012 15:34)

Ahoj,
s použitím $o$ notace a trochou předvídavosti, co se týče binomické věty, je to celkem jednoduché:
$(n^7+3)^8-(n^8+2)^7-24(n^7+1)^7=(n^{56}+8n^{49}\cdot3+o(n^{48}))-(n^{56}+7n^{48}\cdot2+o(n^{48})-(24n^{49}+o(n^{48}))=\nl=-14n^{48}+o(n^{48})$
$$1+\frac1{16n^6}$^8-$1+\frac1{18n^8}$^6=$1+\frac8{16n^6}+o(n^{-6})$-$1+o(n^{-6})$= \frac1{2n^6}+o(n^{-6})$
$$\frac1{2n^6}+o(n^{-6})$^8=\frac1{2^8n^{48}}+o(n^{-48})$
$$-14n^{48}+o(n^{48})$\cdot$\frac1{2^8n^{48}}+o(n^{-48})$= $-14+\frac{o(n^{48})}{n^{48}}$$\frac1{2^8}+n^{48}\cdot o(n^{-48})$\to-14\cdot\frac1{2^8}=-\frac7{128}$

Sajmon9114 · 27. 12. 2012 19:02

↑ Bati: Paráda, díky moc :) Myslel jsem, že to takhle nějak zhruba půjde, ale nevěděl jsem, jak na to prakticky :D

Sajmon9114 · 27. 12. 2012 19:33

↑ Bati: Paráda, díky moc :) Myslel jsem, že to takhle nějak zhruba půjde, ale nevěděl jsem, jak na to prakticky :D

EDIT: ↑ Bati:, ještě bych se zeptal, proč je zde $(n^7+3)^8-(n^8+2)^7-24(n^7+1)^7=(n^{56}+8n^{49}\cdot3+o(n^{48}))-(n^{56}+7n^{48}\cdot2+o(n^{48})-(24n^{49}+o(n^{48}))=\nl=-14n^{48}+o(n^{48})$ u toho $o(n^{48})$ 48. mocnina, když další nejvyšší je třeba u té první závorky 42. mocnina?

Bati · 27. 12. 2012 19:37 — Editoval Bati (27. 12. 2012 19:55)

↑ Sajmon9114:
Tam je samozřejmě jistá volnost, já zvolil nejvyšší takovou mocninu, aby mi to vyšlo a nemusel se v tom pitvat.

Mohl bych samozřejmě napsat $o(n^{42})$ u té první závorky a mít v jistém smyslu těsný odhad, ale jestliže je posloupnost v $o(n^{42})$ , pak je jistě i v $o(n^{48})$ . Kdyby mi pak totiž náhodou někde dál vyskočil např. člen $n^{47}$ , $o(n^{48})$ ho spolkne, kdežto $o(n^{42})$ ne.

Sajmon9114 · 29. 12. 2012 17:09

Jojo, už to chápu, tak díky moc :)

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 10:37

Limita posloupnosti

#2 27. 12. 2012 11:27

Re: Limita posloupnosti

#3 27. 12. 2012 13:35

Re: Limita posloupnosti

#4 27. 12. 2012 15:33 — Editoval Bati (27. 12. 2012 15:34)

Re: Limita posloupnosti

#5 27. 12. 2012 19:02

Re: Limita posloupnosti

#6 27. 12. 2012 19:33

Re: Limita posloupnosti

#7 27. 12. 2012 19:37 — Editoval Bati (27. 12. 2012 19:55)

Re: Limita posloupnosti

#8 29. 12. 2012 17:09

Re: Limita posloupnosti

Zápatí