Matematické Fórum

rexous · 27. 12. 2012 12:27

$\sqrt{x+\frac{9}{4}-\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+198-28\sqrt{x+2}}=\frac{27}{2}$

udělal jsem substituci $t=\sqrt{x+2}$

upravil podle vzorce $a^{2}-2ab+b^{2}$

dostal jsem rovnici $|t-\frac{1}{2}|+|t-14|=\frac{27}{2}$

t je z intervalu $\langle\frac{1}{2};14\rangle$

Z jakého intervalu je X ( $\langle\frac{-7}{4};194\rangle$ ? ? ?)

A jak se zkouškou, když jde o interval ? ? ?

Myslím, že z toho intervalu zbyde jen velmi málo.

Pokud máte čas a chuť poradit, budu velmi rád

Děkuji :-)

Bati · 27. 12. 2012 12:55 — Editoval Bati (27. 12. 2012 12:58)

Využiješ prostosti funkcí $x\mapsto x^2$ a $x\mapsto x-2$ na příslušných intervalech:
$t\in\langle\frac12,14\rangle\Rightarrow t^2\in\langle\frac14,196\rangle\Rightarrow t^2-2=x\in\langle-\frac74,194\rangle$

Teoreticky, například pokud by bylo $t\in\langle-\frac12,14\rangle$ , pak už fce $x\mapsto x^2$ není na tomto intervalu prostá a je třeba hledat její obor hodnot (minimum a maximum, protože je zřejmě spojitá).

Zkoušku není třeba dělat, když si ve druhém kroku určíš podmínky $x\geq-2$ a $t\geq0$ a budeš je v celém výpočtu dodržovat.

rexous · 27. 12. 2012 13:11

↑ Bati:
hlavně mám problém ověřit, že tam není žádný falešný kořen

standyk · 27. 12. 2012 13:28

↑ rexous:

Ahoj, prečo počítaš s intervalmi keď máš počítať rovnicu? Prečo nevypočítaš korene rovnice:
$|t-\frac{1}{2}|+|t-14|=\frac{27}{2}$ a potom nedosadíš sem $t=\sqrt{x+2}$ ?

Bati · 27. 12. 2012 13:35

↑ rexous: Falešný kořen ti žádný vzniknout nemůže, pokud budeš dělat jen ekvivalentní úpravy. Jediný problém je zde mocnění té substituce, to není obecně ekvivalentní úprava, ale pokud ji uděláš za těch podmínek, co jsem psal, je to ekvivalentní. Ověř si sám.

↑ standyk: A proč by řešením rovnice nemohl být interval?

rexous · 27. 12. 2012 13:39

Mám najít i jiný způsob řešení. Napadlo mně toto:
1. substituce
2. umocnění obou stran rovnice
3. opět umocnění obou stran rovnice

Problém je, že vyjdou jako kořeny všechna reálná čísla (a to už víme, že nejsou).
Ze substituce je jasné, že x musí být větší než -2, (ale co interval od -2 do -7/4?)

Bati · 27. 12. 2012 13:44

↑ rexous:
Co s tím intervalem? Ten v řešení prostě není.
Pokud mocníš rovnici, je třeba napsat příslušné podmínky, aby to byla ekvivalentní úprava - sám jsi zjistil, že metoda bezhlavého mocnění a následné zkoušky zde neobstojí.

standyk · 27. 12. 2012 13:52

↑ Bati:

Ou jasné. Pardon :)

rexous · 27. 12. 2012 14:25

Jen pro jistotu
1. umocnění $\sqrt{t^{2}-t+\frac{1}{4}}=\frac{27}{2}- \sqrt{t^{2}-28t +196}$
ohlídám aby $\frac{27}{2}- \sqrt{t^{2}-28t +196} \ge 0$
stanovím podmínku a jedu dál :-)
Všem moc děkuji

Bati · 27. 12. 2012 15:38

↑ rexous:
Ano, přesně tak. Plus podmínky pro výrazy přímo pod odmocninou.

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 12:27

Rovnice s odmocninou

#2 27. 12. 2012 12:55 — Editoval Bati (27. 12. 2012 12:58)

Re: Rovnice s odmocninou

#3 27. 12. 2012 13:11

Re: Rovnice s odmocninou

#4 27. 12. 2012 13:28

Re: Rovnice s odmocninou

#5 27. 12. 2012 13:35

Re: Rovnice s odmocninou

#6 27. 12. 2012 13:39

Re: Rovnice s odmocninou

#7 27. 12. 2012 13:44

Re: Rovnice s odmocninou

#8 27. 12. 2012 13:52

Re: Rovnice s odmocninou

#9 27. 12. 2012 14:25

Re: Rovnice s odmocninou

#10 27. 12. 2012 15:38

Re: Rovnice s odmocninou

Zápatí