Matematické Fórum

010010 · 27. 12. 2012 17:25

Dobrý večer.

Mám taký príklad, s ktorým si neviem rady. Keby išlo o kvadratický polynóm, nerobilo by mi to problém.

Označme c1; c2; c3 v R korene kubického polynómu x^3 -3x +1. Určte kubický polynóm, ktorý má
korene: c1 + c2, c2 + c3 a c3 + c1.

Ďakujem za pomoc.

marnes · 27. 12. 2012 17:58 — Editoval marnes (28. 12. 2012 00:02)

↑ 010010:
1) rozlož x^3 -3x +1 na (x-c1)(x-c2)(x-c3)
2) znáš tedy c1, c2, c3
3) urči c1 + c2=u, c2 + c3=v a c3 + c1=z
4) (x-u)(x-v)(x-z)=vynásob a máš výsledek

pokud jsou c1, c2,c3 celočíselné, což nebudou, takže viz jarrrro

jarrro · 27. 12. 2012 18:03

podľa Vietu máme
$c_1+c_2+c_3=0\nl c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3=-3\nl c_1c_2c_3=-1$
teda
$c_1+c_2+c_2+c_3+c_3+c_1=2$c_1+c_2+c_3$=0\nl $c_1+c_2$$c_2+c_3$+$c_1+c_2$$c_1+c_3$+$c_2+c_3$$c_1+c_3$=\nl =c_1c_2+c_1c_3+c_2^2+c_2c_3 +c_1^2+c_1c_3+c_1c_2+c_2c_3+c_1c_2+c_2c_3+c_1c_3+c_3^2=\nl =$c_1+c_2+c_3$^2+c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3=0+$-3$=-3\nl $c_1+c_2$$c_1+c_3$$c_2+c_3$=$-c_3$$-c_2$$-c_1$=-c_1c_2c_3=1$

010010 · 27. 12. 2012 23:10

hmm ale stále predsa len nerozumiem tomu, ako dostanem c1+c2, c1+c3, c1+c3 :/

jarrro · 27. 12. 2012 23:12

↑ 010010:ty ich nepotrebuješ potrebuješ ten polynóm ktorý je podľa vietu
$x^3-3x-1$

010010 · 28. 12. 2012 13:49

Takže ten postup ktorý ste mi napísal, je celý ?

jarrro · 28. 12. 2012 14:06

↑ 010010:áno z toho vidno koeficienty hľadaného polynómu pretože súčet koreňov ľubovoľného polynómu je závislý na koeficiente toho polynómu súčet súčinov dvoch na inom koeficiente a aj súčin všetkých troch
a to som aj spravil vyjadril som súčet koreňov nového polynómu aj súčet súčinov dvojíc aj súčin všetkých

010010 · 03. 01. 2013 18:22

$c1,c2,c3$ sú korene polynómu $x^3-2x^2+x-11$
Urcete polynom g, ktery ma koreny: $c1+c2, c2+c3,c3+c1$

$a1=-2, a2=1, a3=-11$

$2=c1+c2+c3$
$1= c1c2+c1c3+c2c3$
$11=c1c2c3$
teda
$c1+c2 +c2+c3+c3+c1= 2(c1+c2+c3)=4$
$(c1+c2)(c2+c3)+(c1+c2)(c1+c3)+(c2+c3)(c3+c1)=4+1=5$
$(c1+c2)(c2+c3)(c3+c1)=-c1c2c3=11$

Teda výsledný polynóm g bude: $x^3+4x^2+5x+11$
?
Dúfam že som to celé správne pochopil. Ďakujem.

jarrro · 04. 01. 2013 10:12 — Editoval jarrro (04. 01. 2013 10:13)

ten súčin všetkých troch je zle
$(c_1+c_2)(c_2+c_3)(c_3+c_1)=$2-c_3$$2-c_1$$2-c_2$=\nl =$4-2c_1-2c_3+c_1c_3$$2-c_2$=\nl =8-4c_2-4c_1+2c_1c_2-4c_3+2c_2c_3+2c_1c_3-c_1c_2c_3=\nl =8-4$c_1+c_2+c_3$+2$c_1c_2+c_1c_3+c_2c_3$-c_1c_2c_3=-9$

010010 · 04. 01. 2013 17:21

Ďakujem, už tomu celému rozumiem :))

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2012 17:25

Vietove vztahy

#2 27. 12. 2012 17:58 — Editoval marnes (28. 12. 2012 00:02)

Re: Vietove vztahy

#3 27. 12. 2012 18:03

Re: Vietove vztahy

#4 27. 12. 2012 23:10

Re: Vietove vztahy

#5 27. 12. 2012 23:12

Re: Vietove vztahy

#6 28. 12. 2012 13:49

Re: Vietove vztahy

#7 28. 12. 2012 14:06

Re: Vietove vztahy

#8 03. 01. 2013 18:22

Re: Vietove vztahy

#9 04. 01. 2013 10:12 — Editoval jarrro (04. 01. 2013 10:13)

Re: Vietove vztahy

#10 04. 01. 2013 17:21

Re: Vietove vztahy

Zápatí