Matematické Fórum

tomasxiv · 30. 12. 2012 17:28

Dobrý den,
mám otázku ohledně výpočtu diferenční rovnice pomocí Z-transformace.

Ǔlohou je znázornit průběh řešení DR: y(n+3)+y(n)=b*1(n)

po transformaci se dostanu k: Y(z)=b/(1-Z^-1) což je při b=1 1(n), ale následuje zlomek + ((z^3)+2(z^2)+z)/(z^3)+1, tento výraz bych měl rozložit na parciální zlomky a zpětnou z-transformací nakonec získat y(n), s tím si už ale nevím rady. Jaký by měl být správný postup? Děkuji

Tomas.P

↑ tomasxiv:
1. úprava zlomku (1) $\frac{z^3+2z^2+z}{z^3+1}=\frac{z(z+1)}{z^2-z+1}$ (viz. Alternate forms)
2. vyhledání "podobných výrazů" v tabulce Z-transformace (týká se $cos({\alpha}n)$ a $sin({\alpha}n)$ ), proto nutná úprava zápisu výrazu (1) $\frac{z\[$z-\frac{1}{2}$+\frac{3}{2}\]}{z^2-2z{\cdot}\frac{1}{2}+1}$
3. řešíme tak inverzní Z-transformaci výrazu: $\frac{z$z-\frac{1}{2}$}{z^2-2z{\cdot}\frac{1}{2}+1}+\frac{z{\cdot}\frac{3}{2}}{z^2-2z{\cdot}\frac{1}{2}+1}$
a) zjištění rce $cos(\alpha)=\frac{1}{2}{\Rightarrow}{\alpha}=\frac{\pi}{3}$
b) zjištění rce $x{\cdot}sin$\frac{\pi}{3}$=\frac{3}{2}{\Rightarrow}x=\sqrt{3}$
c) shrnutí: $x=\sqrt{3}$ , ${\alpha}=\frac{\pi}{3}$ a výsledek podle slovníku $y(n)=cos$\frac{{\pi}n}{3}$+\sqrt{3}sin$\frac{{\pi}n}{3}$$ .

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2012 17:28

Diferenční rovnice; Z-transformace

#2 30. 12. 2012 20:54 — Editoval Tomas.P (30. 12. 2012 20:59)

Re: Diferenční rovnice; Z-transformace

Zápatí