Matematické Fórum

chipák · 30. 12. 2012 20:20

Zdravím, potřeboval bych pomoct s následujícím příkladem:

Osudí obsahuje 6 bílých a 5 černých koulí. Vytáhnemez něj 4 koule a vložíme je do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí vytáhneme jednu kouli a nevrátíme je zpět.
Z druhého osudí vytáheneme ješte jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že
je tato koule bílá, za předpokladu, že první tažená koule byla také bílá?

Pokud si zavedu označení
$A_1 \ldots\text{první koule z druhého osudí je bílá}\\ A_2 \ldots\text{druhá koule z druhého osudí je bílá}$
A dosadím do vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost
$P(A_2|A_1)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)},$
tak jsem skončil, protože nevím jak spočíst $P(A_1\cap A_2)$ , předpokládám, že $P(A_1)=\frac{6}{11}$

Pokud se najde, někdo, kdo mě nakone, budu mu vděčný.

Arabela · 30. 12. 2012 23:13

Ahoj ↑ chipák:,
skús uvažovať takto:
Prvou akciou je vytiahnutie štyroch gúľ z prvého osudia. Výsledkom tejto akcie môže byť 5 rôznych situácií, ktoré nastávajú s rôznou pravdepodobnosťou.
a) všetky 4 gule v druhom osudí budú čierne
b) v druhom osudí budú 3 čierne a jedna biela guľa
c) v druhom osudí budú 2 čierne a 2 biele gule
d) v druhom osudí bude 1 čierna a 3 biele gule
e) všetky 4gule v druhom osudí budú biele
Prípadmi a) a b) sa zjavne nemusíme zapodievať - pravdepodobnosť, že po ťahaní z druhého osudia bude prvá guľa biela a následne aj druhá biela, je v týchto prípadoch zjavne nulová (je tam nanajvýš jedna biela guľa).
Vypočítajme pravdepodobnosť, s akou nastane prípad c). Ide o podiel
$\frac{{5\choose 2}{6\choose 2}}{{11\choose 4}}=\ldots =\frac{5}{11}$
Obdobne prípad d) nastane s pravdepodobnosťou
$\frac{{5\choose 1}{6\choose 3}}{{11\choose 4}}=\ldots =\frac{10}{33}$
Pravdepodobnosť prípadu e) je
$\frac{{5\choose 0}{6\choose 4}}{{11\choose 4}}=\ldots =\frac{1}{22}$
Všimnime si teraz situáciu c). Ak bude za tejto konštelácie gúľ prvá ťahaná guľa biela, potom pravdepodobnosť ťahu druhej bielej gule (podmienená pravdepodobnosť) bude $\frac{1}{3}$ (keďže po prvom ťahu bielej gule zostane v osudí jedna biela a dve čierne, teda celkovo 3 gule).
Pravdepodobnosť, že nastane prípad c) a súčasne to bude s ťahom bielych gúľ tak, ako predpisuje úloha, je teda
$\frac{5}{11}.\frac{1}{3}=\frac{5}{33}$
Obdobne pre prípad d):
$\frac{10}{33}.\frac{2}{3}=\frac{20}{99}$
A napokon prípad e):
$\frac{1}{22}.1=\frac{1}{22}$ .
Pravdepodobnosť zjednotenia nezlučiteľných javov z prípadov c), d), e) je potom daná ich súčtom
$P(A)=\frac{5}{33}+\frac{20}{99}+\frac{1}{22}=\frac{79}{198}$

Možno Ťa prekvapilo, že nebolo potrebné použiť zmienený vzorec pre podmienenú pravdepodobnosť - ale to sa u úloh s guľami stáva...:)

pf · 31. 12. 2012 00:04

↑ Arabela:

Ahoj, obávám se, že postup i výsledek je bohužel špatně. Pokud bych chtěl počítat, pak postup navržený chipákem je asi nejschůdnější a vede k očekávanému výsledku, a to 1/2 (jedna bílá pryč, zbývá 5 bílých a 5 černých, manévry s druhým osudím jsou jen na zmatení).

Petr

chipák

Díky za tipy. Zapomněl jsem poznamenat, že ve sbírce úloh, ze které čerpám, je výsledek 31/74.

To co, píše Arabela dává smysl. To co píše pf mi už smysl nedává.

Odpoledne ještě prozkoumám všechna navržená řešení.

Arabela · 31. 12. 2012 08:23

Ahoj ↑ pf:,
všimni si, že ani Ty si nepoužil vzorec navrhnutý chipákom a išiel si na to priamo. Žiaľ. akciu s druhým sudím nemôžeš odignorovať. Hľadaná pravdepodobnosť je v skutočnosti menšia ako 1/2. Je to podobné, ako keď máš nejaké osudie rozdelené priehradkou na dve časti, v každej sú nejaké biele a čierne guličky, a Ty sleduješ napríklad vytiahnutie bielej guličky. Táto pravdepodobnosť bude po odstránení priehradky iná (síce možno iba o trochu, ale predsa). A pritom sa zdá, že by to predsa malo byť jedno, či tam tá priehradka je, alebo nie!
Takže ani akcia s druhým osudím nie je iba na "zmätenie".

pf · 31. 12. 2012 11:57 — Editoval pf (31. 12. 2012 11:58)

Pro jistotu, jak rozumím zadání:
1) Z 1. osudí (kde je 6 bílých a 5 černých koulí) přesuneme 4 koule do 2. osudí.
2) Z 2. osudí (kde jsou ony 4 přesunuté koule) vytáhneme kouli a nevrátíme ji.
3) Z 2. osudí (kde zbývají 3 koule) vytáhneme další kouli.
Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že 2. vytažená koule je bílá za předpokladu, že 1. vytažená koule byla také bílá?

Při takovém zadání můj původní příspěvek ↑ pf: platí.

Jen pro úplnost: Postup doporučený chipákem funguje a po manévrech s kombinačními čísly skončí, jak jsem psal, očekávaným výsledkem 1/2. Druhé osudí je při takovém zadání jen na zmatení, protože všechny koule jsou si pořád rovnocenné (mají stejnou šanci na vytažení). Rozdělení osudí přihrádkou může a nemusí něco ovlivnit, záleželo by na konkrétním zadání.

Petr

Arabela · 31. 12. 2012 19:25

Ahoj ↑ pf:,
čo sa týka manévrovania s osudiami, bolo by iba na "zmatenie", ak by bola otázka napríklad, aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej guľky z druhého osudia. Bola by rovnaká ako bez hry s osudiami, t.j. 6/11, o čom sa možno presvedčiť aj výpočtom cez kombinačné čísla.
Táto situácia s podmienenou pravdepodobnosťou je ale mierne iná, čo sa prejaví na výsledku, ktorý je približne 0,4.
Možno keby sme urobili simuláciu s 1000 pokusmi, presvedčili by sme sa o tom...

chipák · 01. 01. 2013 15:53

Procházel jsem si ještě ten postup od Arabely a nezdá se mi na něm nic špatného. Takže v učebnici asi mají chybu nebo prostě nevim jak došli na ten výsledek. Každopádně, pokud na písemce dostanu podobný příklad, tak ho budu počítat tímto stylem.

Děkuju za všecky rady

pf · 01. 01. 2013 20:58

chipák napsal(a):
Procházel jsem si ještě ten postup od Arabely a nezdá se mi na něm nic špatného...

Postup od Arabely je zásadně chybný. Kombinační čísla souhlasí, zbytek už nedává smysl.

Arabela · 01. 01. 2013 21:33

↑ chipák:, ďakujem za uznanie. Tiež ma trápi, že výsledok, ktorý uvádzajú v Tvojej zbierke, je iný - ale zase nejako dramaticky odlišný nie je, čo sa týka číselnej hodnoty...
Ešte nad tým popremýšľam...

Matematické Fórum

#1 30. 12. 2012 20:20

Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#2 30. 12. 2012 23:13

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#3 31. 12. 2012 00:04

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#4 31. 12. 2012 08:01 — Editoval chipák (31. 12. 2012 08:08)

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#5 31. 12. 2012 08:23

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#6 31. 12. 2012 11:57 — Editoval pf (31. 12. 2012 11:58)

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#7 31. 12. 2012 19:25

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#8 01. 01. 2013 15:53

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

#9 01. 01. 2013 20:58

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

chipák napsal(a):

#10 01. 01. 2013 21:33

Re: Podmíněná pravděpodobnost (koule v osudí)

Zápatí