Matematické Fórum

Akcope · 31. 12. 2012 02:21 — Editoval Akcope (31. 12. 2012 02:28)

Zdravím, prosil bych o pomoc s následujícím příkladem:

Vyslovte větu o limitě derivace a ukažte její použití na příkladu nalezení $f_{-}'(1)$ a $f_{+}'(1)$ funkce $f(x)=arcsin(\frac{2x}{1+x^{2}})$ .

Vím, že věta o limitě derivace mi tvrdí že $f'_{-}(a)=\lim_{x\to a_{-}}f'(a)$ , resp. $f'_{+}(a)=\lim_{x\to a_{+}}f'(a)$ .

Funkci jsem si tedy zderivoval: $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^{2}})^{2}}}\cdot \frac{2(1+x^{2})-4x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}$

Mohl by mi někdo říct, jak dojít k limitě tohoto výrazu zleva a zprava, prosím? Nedovedu si to moc představit. Předem díky za odpověď.

jardofpr · 31. 12. 2012 20:02

ahoj ↑ Akcope:

Akcope napsal(a):
Vyslovte větu o limitě derivace ...

ktorú vetu tak voláte? (alebo ktorú vetu voláte "Věta o limitě funkce" ?)

Čo sa týka tej derivácie, dá sa upravovať ďalej:

$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^{2}})^{2}}}\cdot \frac{2(1+x^{2})-4x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}= \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2-(2x)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=$
$=\frac{1+x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2}}\cdot\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{|1-x^2|}\cdot\frac{2}{1+x^2}=\frac{2\,\mathrm{sgn}\,{(1-x^2)}}{1+x^2}$

Zaujímavé to bude hlavne v bodoch ktoré nepatria do $D(f')$

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2012 02:21 — Editoval Akcope (31. 12. 2012 02:28)

Jednostranné derivace (Věta o limitě derivace)

#2 31. 12. 2012 20:02

Re: Jednostranné derivace (Věta o limitě derivace)

Akcope napsal(a):

Zápatí