Matematické Fórum

simcilka · 02. 01. 2013 00:39

Dobrý den,
mám dokázat det B $det B=(-1)^{n+1}b(a-b)^{n-1}$ , který je zadaný: b pro $i\le j$ , a pro $i=1+j$ , -b pro $i\ge j$ . Determinant jsem vzpocitala, tak ze jsem od 2.radek odecetla od prvniho, 3.radek od prvniho,... a vychzi mi determinant $det B=b(a-b)^{n-1}$ nezalezi mi to na tom jestli je lichého stupne nebo sudeho, mohl byste mi prosim poradit nekdo kde delam chybu? determinant vypada tak ze hlavni diagonalu a vse co je na ni se rovna b, pod hlavni diagonalou je a (jedna primka-prominte za vyraz) a pod ni uz jsou jen -b. děkuji za pomoc

kompik · 02. 01. 2013 10:52

↑ simcilka:
$\begin{vmatrix} b & a & -b & \ldots & -b \\ b & b & a & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -b \\ \vdots & \vdots & & \ddots & a \\ b & b & \hdotsfor{2} & b \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} b & a-b & -2b & \ldots & -2b \\ b & 0 & a-b & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -2b \\ \vdots & \vdots & & \ddots & a-b \\ b & 0 & \hdotsfor{2} & 0 \end{vmatrix}=$
$(-1)^{n-1}\begin{vmatrix} a-b & -2b & \ldots & -2b & b \\ 0 & a-b & \ddots & \vdots & b\\ \vdots & \ddots & \ddots & -2b & \vdots \\ \vdots & & \ddots & a-b & \vdots\\ 0 & \hdotsfor{2} & 0 & b \end{vmatrix}= (-1)^{n-1}(a-b)^{n-1}b$

Odpočítal som prvý stĺpec od všetkých ostatných a v ďalšom kroku som urobil (n-1) výmen stĺpcov, ktorými sa dostal prvý stĺpec na posledné miesto. (Každá výmena zmenila znamienko.)

Z toho, čo som poslal, môžeš vidieť, ako sa zapisujú determinanty. Vedela by si teraz o niečo podrobnejšie vysvetliť tvoj postup_

kompik · 02. 01. 2013 10:57 — Editoval kompik (02. 01. 2013 10:57)

simcilka napsal(a):
Dobrý den,
mám dokázat det B $det B=(-1)^{n+1}b(a-b)^{n-1}$ , který je zadaný: b pro $i\le j$ , a pro $i=1+j$ , -b pro $i\ge j$ . Determinant jsem vzpocitala, tak ze jsem od 2.radek odecetla od prvniho, 3.radek od prvniho,... a vychzi mi determinant $det B=b(a-b)^{n-1}$ nezalezi mi to na tom jestli je lichého stupne nebo sudeho, mohl byste mi prosim poradit nekdo kde delam chybu? determinant vypada tak ze hlavni diagonalu a vse co je na ni se rovna b, pod hlavni diagonalou je a (jedna primka-prominte za vyraz) a pod ni uz jsou jen -b. děkuji za pomoc

Rozumiem tomu správne tak, že tvoj prvý krok bol, že si druhý riadok nahradila rozdielom prvý riadok mínus druhý riadok?
$\begin{vmatrix} b & a & -b & \ldots & -b \\ b & b & a & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -b \\ \vdots & \vdots & & \ddots & a \\ b & b & \hdotsfor{2} & b \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} b & a & -b & \ldots & -b \\ 0 & a-b & -b-a & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -b \\ \vdots & \vdots & & \ddots & a \\ b & b & \hdotsfor{2} & b \end{vmatrix}$

Toto nie je správne - v skutočnosti tento krok pozostával z viacerých riadkových operácií: Najprv sa vynásobil druhý riadok číslom -1 (a teda aj hodnota determinantu sa zmenila takýmto násobkom) a potom sa k nemu pripočítal prvý riadok.

Ešte pridám dve linky:
Effect on Elementary Row Operations on Determinant - ProofWiki
Poznámka k riadkovým operáciam

simcilka · 02. 01. 2013 16:08

$\begin{vmatrix} b & b & b & \ldots & b \\ a & b & b & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b \\ \vdots & \vdots & & \ddots & b \\ -b & -b & \hdotsfor{2} & b \end{vmatrix}=$
kdyz ja jsem si ten determinant napsala takhle protoze :a pro i=j+1

simcilka · 02. 01. 2013 16:10

a udelala jsem upravu že jsem od druhy radek odecetla od prvniho a dale treti od prvniho,....

simcilka · 02. 01. 2013 16:16

↑ kompik:

děkuji, ale ja jsem ten determinant si zapsala jinak, jak jiz pisu nahore a pak jsem udelala upravu ze jsem prvni radek ponechala a druhy odecetla od prvniho, treti od prvniho, a tim jsem uz dostala ten tvar dle ktereho jsem mela pod diagonalou same nuly. Ale asi jsem udelala chybu v tom ze jsem jsem vlastne pričitala (-1)nasovek 1.radku a to se mi zmenilo znamenko a udelala jsem to n-1.

kompik · 02. 01. 2013 16:39 — Editoval kompik (02. 01. 2013 17:36)

Máš pravdu, že ja som riešil iné (ale dosť podobné) zadanie.
Keď skúsim tú úpravu, čo si navrhla - odrátavať prvý riadok, tak dostanem takéto niečo.
$\begin{vmatrix} b & b & b & \hdotsfor{2} & b \\ a & b & b & \ddots & & \vdots \\ -b & a & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b & b\\ \vdots & & \ddots & \ddots & b & b\\ -b & -b & \ldots & -b & a & b \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} b & b & b & \hdotsfor{2} & b \\ a-b & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ -2b & a-b & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 & 0\\ -2b & -2b & \ldots & -2b & a-b & 0 \end{vmatrix}=\ldots$
Teraz by sa ako ďalšia úprava hodilo vymeniť riadky tak, aby sa prvý dostal na posledné miesto. (Pri každej výmene riadkov sa mení znamienko, môžeme to urobiť (n-1) výmenami susedných riadkov.)
Potom dostaneme situáciu, že nad diagonálou sú nuly.

Robila si to nejako takto, či inak?

simcilka · 02. 01. 2013 17:51

ja uz jsem to ted neupravovala, protoze mslim ze uz to je videt, ze to bude (a-b)^n *b a ostatni budou 0, a proto mi tam nevychazi to (-1)^n+1, ale neni to tak ze vlastne kdyz odcitam radek v determinantu tak pricitam -1 nasobek, tak tam uz se objevi to znamenko?

z toho prkladu co si pocital ty, jsem si vzala postup, dekuji za nej;-) a řeším jestě podobný příklad
zadaní: je b pro i<j, a pro i=j, -b pro i>j, a mam dokazat že plati $det A_{n}=(a+b)* det A_{n-1} -b*(a-b)^{n-1}$ a podle toho dokazat $det A_{n}=1/2((a+b)^n+(a-b)^{n})$ a mam pritom nejak vyuzit ten predchozi priklad, ale vubec nevim jak s rekurenci jsem moc nedelala:(

kompik · 02. 01. 2013 17:56

↑ simcilka:
Keď sa pri determinantoch vyskytne rekurencia, tak sa zväčša použije Laplaceov rozvoj.
Asi pretým, ako sa použije Laplace, by možno ešte bolo vhodné použiť nejakú úpravu - aby riadok/stĺpec, podľa ktorého sa robí rozvoj mal čo najviac núl.

simcilka · 02. 01. 2013 18:05

Laplaceuv rozvoj, jsem nikdy nedelala, nejde to bez nej? dekuji zkusim si to nekde dohledat a vypocitat,..

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2013 00:39

n-rozměrný determinant

#2 02. 01. 2013 10:52

Re: n-rozměrný determinant

#3 02. 01. 2013 10:57 — Editoval kompik (02. 01. 2013 10:57)

Re: n-rozměrný determinant

simcilka napsal(a):

#4 02. 01. 2013 16:08

Re: n-rozměrný determinant

#5 02. 01. 2013 16:10

Re: n-rozměrný determinant

#6 02. 01. 2013 16:16

Re: n-rozměrný determinant

#7 02. 01. 2013 16:39 — Editoval kompik (02. 01. 2013 17:36)

Re: n-rozměrný determinant

#8 02. 01. 2013 17:51

Re: n-rozměrný determinant

#9 02. 01. 2013 17:56

Re: n-rozměrný determinant

#10 02. 01. 2013 18:05

Re: n-rozměrný determinant

Zápatí